Вопрос 6. Математические модели (мм) объектов проектирования. Иерархия мм и их связь с уровнями проектирования рэс.

Иерархические уровни ММ делятся на мик­роуровни, макроуровни и метауровни. Особенно­стью ММ на микроуровне является отображение физических процессов в непрерывном пространст­ве и времени. С помощью дифференциальных уравнений в частных производных рассчитывают­ся поля механических напряжений и деформаций, тепловые поля.

Любое из этих уравнений может быть получено из общего квазигармониче­ского уравнения

где х, у, z - пространственные координаты; φ - искомая непрерывная функция; К_х, К_у, K_z - коэф­фициенты; Q - внешнее воздействие.

Точное решение краевых задач получают только в частных случаях. Поэтому реализация таких моделей заключается в использовании раз­личных приближенных моделей. Широкое распро­странение получили модели на основе интеграль­ных уравнений и модели на основе метода сеток. Одним из наиболее популярных методов решения краевых задач в САПР является метод конечных элементов.

На макроуровне используют укрупнённую дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде обыкновенных дифференци­альных уравнений. В этих моделях имеются две группы переменных - независимых (время) и зави­симых (фазовых).

Большинство технических подсистем харак­теризуется фазовыми переменными. Фазовые пе­ременные образуют вектор неизвестных в ММ технической системы. Для каждой физической подсистемы характерны свои законы, однако для простейших элементов форма выражающих их уравнений оказывается одинаковой.

Фазовыми пе­ременными электрической подсистемы являются токи I и напряжения U. Например, для электрической системы - уравнение сопротивления (закон Ома) I = U/R, где R - электрическое сопротивление.

Для механической поступательной систе­мы фазовые переменные - силы F и скорости V - соот­ветственно, аналоги токов и напряжений. Уравнение вязкого трения F = V/R_M, где R_M⁼ 1/k - аналог электрического сопро­тивления; к - коэффициент вязкого трения.

ММ на метауровне описывают укрупнённо рассматриваемые объекты (технологические сис­темы и т.п.). В качестве математического аппарата используют обыкновенные дифференциальные уравнения, математические модели с использованием целочисленного программирования, теорию массового обслуживания, эле­менты дискретной математики (сети Петри и т.д.). Математические модели на метауровне имеют большое разнообразие.

Теоретические модели строят на основании изучения закономерностей. В отличие от формаль­ных моделей (например, эмпирических) они в большинстве слу­чаев более универсальны и справедливы для ши­роких диапазонов изменения технологических параметров. Теоретические модели могут быть линейными и нелинейными, а в зависимости от мощности множества значений переменных моде­ли делят на непрерывные и дискретные. При тех­нологическом проектировании наиболее распро­странены дискретные модели, переменные кото­рых представляют собой дискретные величины, а множество решений - счётно. Различают также модели динамические и статические. В большинстве случаев проектирова­ния технологических процессов используют стати­ческие модели, уравнения которых не учитывают инерционность процессов в объекте.

В полной ММ учитываются связи всех эле­ментов проектируемого объекта, например маршрутная технология. МакроММ отображают зна­чительно меньшее число межэлементных связей. Аналитические ММ представляют собой функцио­нальные модели (теоретические или эмпириче­ские) и, как правило, используются при парамет­рической оптимизации технологических процес­сов. Алгоритмическая ММ представляется в виде алгоритма. Имитационная модель является алго­ритмической, отражающей поведение исследуемо­го объекта во времени при заданных внешних воздействиях на объект (например, процесс подготов­ки управляющих программ для роботизированной сборки).

Определение ММ.

Под математической моделью (ММ) конструкции, техно­логического процесса и его элементов понимают систему математических соотношений, описы­вающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в производственных условиях. При построении математических моделей исполь­зуют различные математические средства описа­ния объекта - теорию множеств, теорию графов, теорию вероятностей, математическую логику, математическое программирование, дифференци­альные или интегральные уравнения и т.д.

2. Требования, предъявляемые к ММ.

К математическим моделям предъявляют требования высокой точности, экономичности и универсальности. Экономичность математических моделей определяется затратами машинного вре­мени (работы ЭВМ). Степень универсальности математических моделей зависит от возможности их использования для анализа большого числа технологических процессов и их элементов. Точность ММ – это её адекватность. Тре­бования к точности, экономичности и степени универсальности математических моделей проти­воречивы. Поэтому необходимо иметь удачное компромиссное решение.