16. Пределы результатов арифметических действий.

Теорема.

Пусть и

1)

2)

3) 2) ,

Доказательство второго пункта.

= p*q + b(x), b(x) – бесконечно малая функция.

Следствие:

Если , то

17. Теорема («принцип двух милиционеров»). Первый замечательный предел.

Теорема. Принципе двух милиционеров.

Пусть:

1)

2) и =>

Доказательство.

Берем произвольную окрестность (p)

(p)

(p)

(p)

Первый замечательный предел.

Рассматриваем х только в первой четверти, так как это четная функция.

A С

О x В

S треугольника OAB < S сектора OAB < S OBC

1 < =>

18. Односторонние пределы. Предел монотонной функции.

Пусть

Пределом функции f(x) при x справа (слева) называется предел

Существование двухстороннего предела.

Для того, чтобы существовал предел функции необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны между собой оба односторонних предела.

Предел монотонной функции.

Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на Е, если

( )

Если неравенства в определении строгие, то функция строго возрастает или строго убывает.

Теорема о пределе монотонной функции.

Пусть:

1)

Тогда:

1) =

2) Предел конечен, если f(x) на Е ограничена сверху ( снизу ) и равен + (- в противоположном случае.

Рассмотрим любую (p) обозначим ее левый конец через a < p

По критериям супремума

Так как f(x) определен на всем Е, то существует , что f( ) = . Выберем окрестность точки с левым концом . Для любого х, попадающего в эту окрестность:

(p) => p – предел f(x) при на Е

19. Второй замечательный предел.

Число е или второй замечательный предел.

Теорема.

Пусть , имеет предел.

Раскроем формулу по биному ньютона.

= =

Из этого равенства видно, что с увеличением n число положительных слагаемых увеличивается. При увеличении n множители увеличиваются => последовательность монотонно возрастает. И

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку на 1 => значение правой части увеличится.

Получаем неравенство

Еще усилим неравенство.

Заменим 3,4,5..n на 2.

Найдем сумму членов геометрической прогрессии.

( =

Поэтому

– возрастающая, но ограниченная последовательность.

Согласно теореме о монотонной функции, она имеет предел.

Второй замечательный предел имеет место и когда вместо n берется

20. Фундаменатльная последовательность. Критерий Больцано-Коши сходимости последовательности.

Последовательность фундаментальной ( сходящейся в себе ), если

То есть, последовательность фундаментальна, если ее достаточно далекие члены отличаются друг от друга как угодно мало.

Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел. А она имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Критерий Больцано-Коши сходимости последовательности гласит – для того, чтобы последовательность сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Покажем необходимость.

Пусть последовательность

Докажем, что фундаментальная последовательность.

21. Сравнение функций при : функции, бесконечно малые по сравнению с другими.

Функция f(x) называется бесконечно малой (большой) по сравнению с функцией g(x) при , если существует U(

a(x) – б.м.ф => f(x) бесконечно малая функция по сравнению с g(x)

a(x) – б.б.ф => f(x) бесконечно большая функция по сравнению с g(x)

a(x) эквивалентна g(x)

Если функция бесконечно малая по сравнению с g(x) => = 0

f(x) = 0 ( g(x) )

Свойства.

1) - 0 ( g(x) ) = 0 ( g(x) )

2) 0 ( g(x) ) + 0 ( g(x) ) = 0 ( g(x) )

3) h(x) * 0 ( g(x) ) = 0 ( h(x) )

Если функция бесконечно большая по сравнению с g(x) => =