Вопросы к экзамену по математическому анализу.
(МО, ПРО, первый семестр).
Понятие множества. Операции над множествами и их свойства.
Свойства десятичных преставлений рациональных чисел. Множество действительных чисел.
Множество действительных чисел. Абсолютная величина числа и ее свойства.
Границы числовых множеств. Свойства точных границ.
Понятие функции. График функции. Композиция функций. Обратимость функции.
Основные элементарные функции. Классификация функций.
Окрестности. Свойства окрестностей.
Предельная точка множества. Основное определение предела функции.
Предел функции. Общие свойства предела (св.1 – св.3).
Предел функции. Связь между пределами функции на множестве и на его частях.
Ограниченная функция. Ограниченность функции при при
.Предел последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.
Связь между пределом функции и пределом последовательности. Доказательство отсутствия предела.
Бесконечно малые функции и их свойства.
Критерий существования конечного предела функции на языке б.м.ф. Бесконечно большие функции и их свойства.
Пределы результатов арифметических действий.
Теорема («принцип двух милиционеров»). Первый замечательный предел.
Односторонние пределы. Предел монотонной функции.
Второй замечательный предел.
Фундаменатльная последовательность. Критерий Больцано-Коши сходимости последовательности.
Сравнение функций при : функции, бесконечно малые по сравнению с другими.
Сравнение функций при : эквивалентные функции.
Основные эквивалентности, применяемые при вычислении пределов. Предел степенно-показательной функции.
Непрерывные функции. Свойства непрерывных функций.
Непрерывность монотонной и обратной к строго монотонной функций.
Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях.
Открытые и замкнутые множества на числовой прямой. Компакт.
Теоремы Вейерштрасса о непрерывных функциях.
Классификация разрывов функции.
1. Понятие множества. Операции над множествами и их свойства.
Множество – собрание определенных элементов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью и мыслимых нами как единое целое.
B
A – подмножество B
во множестве A
Операции над множествами
1) Объединение
множеств А и В ( А
В) – множество, состоящее из элементов
множества А ИЛИ элементов множества
В.
А В = { x, x ∈ A ИЛИ x ∈ В }
U – универсальное множество всех элементов
2) Пересечение множеств
А
В = { x, x ∈
A
И x ∈
В }
3) Разностью множеств А и В, или дополнением множества А до множества В называется
А\В = { x, x ∈ A И x ∉ В }
4) Абсолютное дополнение или отрицание множества
Ā = { x, x ∉ A}
5) Симметрическая разность
A Δ B = (A \ B ) (B \ A)
2. Свойства десятичных преставлений рациональных чисел. Множество действительных чисел.
Любую рациональную дробь, правильную, можно представить в виде десятичной дроби, делением уголком. В результате получится конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая. Целая часть – наибольшее целое, непревосходящее само число.
Свойства десятичных представлений рациональных чисел.
1) Различным рациональным дробям соответствуют различные бесконечные периодическая десятичные дроби.
2) Для любого а из множества рациональных чисел, его представление есть конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая.
3) Бесконечные периодические десятичные дроби, полученные делением углом, не могут иметь «9» в периоде.
Доказательство:
Число a принадлежит множеству Q, оттуда запишем его как a(0), a(1) a(2) ... a(k) 9.... 9
Дальше, его дробная часть равна
0,a(1) a(2) ... a(k) 9.....9
Для оценки дробной части найдем два числа, одно меньше исходного, которое обозначим как а, а другое больше
Возьмем у числа a n знаков после запятой.
Тогда будет что-то вроде
0,a(1) a(2) ...a(k) 999 - n знаков
Потом прибавим к этому числу число 1/10^n
получим 0,a(1) a(2) ...a(k)+1 - фиксированное число, возьмем за r
Тогда 0,a(1) a(2) ...a(k) 999 = r - 1/10^n
Наше число a находится между ними
0,a(1) a(2) ...a(k) 999 < 0,a(1) a(2) ... a(k) 9.....9 <0,a(1) a(2) ...a(k)+1
r - 1/10^n < a < r
- 1/10^n < a - r < 0
0< r-a < 1/10^n
r- a< 1/10^n
1 / r-a > 10^n
Это неравенство должно быть истинно для любого n
Но r и a фиксированные числа, поэтому неравенство не может быть справедливым для любого n => рациональная дробь не может иметь 9 в периоде
Множество действительных чисел
Мы пришли к тому, что остались неиспользованными бесконечные непериодические десятичные дроби, которые не могут быть использованы в качестве рациональных числе. Их возьмем за новое множество иррациональных чисел.
J – иррациональные числа
R = Q + J
R – множество действительных чисел.
3. Множество действительных чисел. Абсолютная величина числа и ее свойства.
Множество действительных чисел
Мы пришли к тому, что остались неиспользованными бесконечные непериодические десятичные дроби, которые не могут быть использованы в качестве рациональных числе. Их возьмем за новое множество иррациональных чисел.
J – иррациональные числа
R = Q + J
R – множество действительных чисел.
Если выбрать некую прямую, выбрать направление, начало отсчета и единицу длины, то мы получим числовую прямую. Каждому действительному числу на числовой прямой соответствует определенная точка.
Абсолютная величина числа это расстояние от точки, соответствующей этому числу до начала отсчета. Так же ее обозначают, как модуль числа |a| = a, если а> 0 и равно –a, если а <0.
Свойства абсолютной величины числа.
1) |x|
=
= x*sgn x
= max {x, -x}
2)
3)
4)
5) |-x| = |x|
6) |a*b| = |a| * |b|
7)
8)
9)
10)
11)
12)
