4. Границы числовых множеств. Свойства точных границ.

b ∈ R называется верхней ( нижней ) границей множества А, если для любого а ∈ А :

Наибольшая из нижних границ числового множества А называется инфимумом множества А. Обозначается, как inf A – точная нижняя граница множества А

Наименьшая из верхних границ называется супремумом. Sup A – точная верхняя граница множества А.

Супремум и инфимум являются обобщением наибольшего и наименьшего элемента множества. Если во множестве есть наибольший элемент – он и есть супремум.

Свойства точных границ числового множества.

1) Критерия sup и inf.

Для того, чтобы число b было точной верхней( нижней) границей множества А необходимо и достаточно, чтобы b было верхней ( нижней ) границей множества А и для любого c < b (c> b) нашлось бы a из множества А такое, что a>c ( a<c ),

2) Всякое ограниченное сверху ( снизу ) множество имеет точную верхнюю ( нижнюю ) границу.

3) Для любого ограниченного множества А :

4) , B – ограниченное множество, А :

5. Понятие функции. График функции. Композиция функций. Обратимость функции.

Пусть заданы два множества X и Y.

Если по некоторому закону каждому элементу x X сопоставляется один и более y Y, то говорят, что на множестве X задана функция со значениями во множестве Y и она обозначается, как f.

Обозначения: f : X -> Y

Множество элементов X, для которых определены значения функции составляют область определения функции -

Элементы Y, сопоставленные элементам Х называются значениями функции.

Множество значений функции обозначается

Важным частным случаем функции является последовательность, где в роли аргумента выступает n из натуральных чисел ( номер члена последовательности )

Виды обозначений – x(n) или

График функции

Пусть X, Y – два множества.

Декартовым произведением множеств X и Y называется множество упорядоченных пар из все элементов двух множеств.

Графиком функции f : X -> Y называется множество

График существует для любой функции, но изобразить его не всегда удается ( например для функции Дерехле, где y =1, если x – рациональное и = 0, если х – иррациональное )

Композиция функций.

f : X -> Y, g : Y -> Z

Тогда можно образовать новую функцию, которая каждому х сопоставляет y по правилу f, и каждому полученному y сопоставляет z по g

Полученную функцию называют композицией функции g o f

g( f(x) )

Обратимость функции

Пусть есть функция f(x) с областью определения D и областью значения E

Если существует функция, с областью определения E и которая для каждого y из E сопоставляет x из D, то такая функция называется обратной.

То есть, область определения обратной функции – область значения прямо, а область значения обратной – область определения прямой функции.

Обозначается как

График обратной функции с аргументами, названными х и значениями y симметричен графику прямой функции относительно биссектрисы 1 и 3 координатных углов.

Функция обратима, если обратная к ней функция однозначна.

6. Основные элементарные функции. Классификация функций.

1) y = C, C – константа

2) – степенная

а) a > 0, D = R

б)

в)

г) a – иррациональное,

В случае, когда a<0, надо учитывать, что

3) – показательная функция

4)

5) тригонометрические функции

6) обратные тригонометрические функции

Классификация функций

Элементарные функции – это функции, которые получаются из основных элементарных с помощью конечного числа последовательно выполненных арифметических операций и композиций.

В классе элементарных функций выделают:

а) многочлены ( целая рациональная функция ) + - *

б) Дробно-рациональная функция + - * /

в) алгебраические функции ( функции, которые получаются лишь использованием арифметических действий, возведением в степень и извлечением корня )

г) все функции, не являющиеся арифметическими называются трансцендентными