8. Линейные ду с постоянными коэффициентами и его характеристическое уравнение. Вид общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения.

Пусть дано ЛОДУ второго порядка:

y’’ + p*y’+q*y=0, где p и q – постоянны. Для нахождения общего решения достаточно два его частных решения, образующих фундаментальную систему. Будем искать частные решения в виде:

y=e^kx, тогда

k²e^kx+pk e^kx+qe^kx=0, т.е. e^kx(k²+pk+q)=0 (*)– характеристическое уравнение

При решении хар-го уравнения возможны 3 случая:

1) Корни k1 и k2 уравнения (*) действительные и различные. В этом случае частными решениями явл-ся функции: y1= e^k1x и y2= e^k2x. Они образуют фундаментальную сист. реш-й, т.к. их определитель Вронского не равн 0. тогда y= C1e^k1x +C2e^k2x – общее решение

2) Корни действительные и равны, тогда имеем лишь одно частное решение y1= e^k1x

y= C1e^k1x +C2e^k2x – общее решение

3)Корни комплексные:

k1=α+βi, k2= α-βi.

Частные решения: y1= e ^(α+βi)x y2= e ^(α-βi)x По формуле Эйлера e ^iφ=cosφ+isinφ, e ^-iφ=cosφ-isinφ

Общее решение: y=С1e^αxcosβx+ С2e^αxsinβx или y=e^αx(С1cosβx+C2sinβx)

9. Методы отыскания частных решений линейных неоднородных уравнений. Метод Лагранжа и метод неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим ЛНДУ y’’+a1(x)y’+a2(x)y=f(x). Его общим решением явл. функция y=y*+y^, т.е. сумма произвольного частного решения у* и общего решения y^=c1y1+c2y2 соответствующего однородного уравнения.

Частное решение y* можно найти, если известно общее решение y^ методом Лагранжа (вариация произвольных постоянных)

Пусть y^=c1y1(x)+c2y2(x) общее решение.

Метод неопределенных коэффициентов:

по виду правой части f(x) уравнения y’’+p*y’+q*y=f(x) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение y’’+p*y’+q*y=f(x) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.

Случай 1: f(x)=P_n(x)*e^ax. тогда ищем частное решение y* в виде y*=x^r*Q_n(x) *e^ax

Случай 2: f(x)= e^ax(P_n(x)*cosβx+Q_m(x)sinβx). частное решение ищем в виде y*=x^r* e^ax(M_l(x)cosβx+N_l(x)sinβx)

10. Нормальная система ду. Общее и частное решение. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения. Линейная система ду. Сведение ду n-го порядка к системе ду и наоборот.

Системой ДУ наз-ся совокупность ДУ, каждое из которых содежрит независимую переменную, искомые функции и их производные. Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной наз-ся нормальной системой ДУ

{dy1/dx= f1(x;y1;y2;…;yn)

{ dy2/dx= f2(x;y1;y2;…;yn)

…………………………….

{ dyn/dx= fn(x;y1;y2;…;yn)

Решением системы называется совокупность из n функций y1, y2,…,yn, удовл. каждому из уравнений этой системы.

Начальные условия имеют вид: y1(x0)= y⁰1, y2(x0)=y⁰2… yn(x0)=y⁰n

Задача коши: найти решение системы, удовл. начальным условиям.

Теорема: Если в системе все ф-ции fi(x; yi…yn) непрерывны вместе со своими частными производными по yi в некоторой области D((n+1)-мерного пространства), то в каждой точке M0(x0; y⁰1, y⁰2,…, y⁰n) этой области сущ-т, и притом единственное, решение y1=φ1(x), y2=φ2(x),…, yn=φn(x) системы, удовл начальным условиям.

Решение, получающееся из общего при конкретных значениям постоянных C1,C2,..Cn наз-ся частным решением системы

y1=φ1(x;C1;C2;…;Cn)… yn=φn(x;C1;C2;…;Cn) – общее решение.

Одним из основных методов интегрирования нормальной системы ДУ явл метод сведения системы к одному ДУ высшего порядка.

Пусть задана нормальная система. Продифференцируем по х. d²y₁/dx²=F₂(x;y₁;y₂;…;y_n)

Дифференцируя несколько раз получаем d²y₁/dx²=F₂(x;y₁;y₂;…;y_n)

соберем в систему:

{ dy₁/dx=f1(x;y₁;y₂;…;y_n) (*)

{ d²y₁/dx²=F₂(x;y₁;y₂;…;y_n)

{…………………………..

{ d²y₁/dx²=Fn(x;y₁;y₂;…;y_n)

Выразим функции y через х, функцию y1 и ее производные:

{ y2=ψ₂(x;y₁;y1’;…;y1^n-1)

{…………………………..

{ yn= ψ _n(x;y₁;y1’;…;y1^n-1)

Найденные значении y2,y3,…yn подставим в (*). Общее решение y1=φ1(x;C1;C2;…;Cn) Продифференцировав его (n-1) раз и подставив значения производных найдем y2,y3,…yn y2=φ2(x;C1;C2;…;Cn)… yn=φn(x;C1;C2;…;Cn)