- •3) Интегрирование простейших рациональных функций
- •5) Интегрирование тригонометрических выражений.
- •7) Основные свойства о.И.:
- •8) Формула Ньютона-Лейбница.
- •11. Численные методы интегрирования. Методы прямоугольников, трапеций и др.
- •12. Несобственные интегралы.
- •13. Общая схема построения определенного интеграла. Двойной и тройной интеграл и их свойства.
- •14. Геометрические приложения двойных и тройных интегралов и их вычисление повторным интегрированием.
- •1. Ду первого рода.
- •2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися и разделенными переменными.
- •3. Линейные ду первого рода.
- •4. Численное решение дифференциального уравнения. Метод Эйлера.
- •5. Дифференциальные уравнения высших порядков. Общее и частное решение. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения.
- •6. Линейный ду оператор n-го порядка и его свойства. Свайства решений линейного однородного ду. Фундаментальная система решений, определитель Вронского.
- •8. Линейные ду с постоянными коэффициентами и его характеристическое уравнение. Вид общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения.
- •9. Методы отыскания частных решений линейных неоднородных уравнений. Метод Лагранжа и метод неопределенных коэффициентов.
- •10. Нормальная система ду. Общее и частное решение. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения. Линейная система ду. Сведение ду n-го порядка к системе ду и наоборот.
- •11. Решение системы линейных однородных ду с постоянной матрицей.
- •2) Т. Подобия.
- •3) Дифференцирование оригинала.
- •4) Решение уравнений и систем операторным методом.
1.
Первообразная функция.
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (а;b), если для любого xє(а;b) выполняется равенство: F(x)’= f(x)
Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на (а;b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(x)+С, где С - постоянное число.
Неопределенные интегралы.
Множество всех первообразных функций F(x)+С для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом f(x)dx.
Т.О., по определению f(x)dx = F(x)+С ,где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx - подынт. выражение, х – переменная интегрирования, - знак неопред. интеграла.
Свойства неопределенного интеграла.
1)Дифференциал от Н.И. равен подынт.выражению, а производная Н.И. равна подынт-ой функции.
2)Н.И. от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и постоянной: dF(x) = F(x)+C
3)Пост.множитель можно выносить за знак интеграла: af(x)dx=a f(x)dx, a≠0-постоянная.
4)Н.И. от алгеброич.суммы конечного числа непрерывных функций=алгеброической сумме интегралов слагаемых функций: (f(x)±g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx
5)Инвариантность формулы интегрирования: если f(x)dx = F(x)+C, то и f(u)du = F(u)+C,где u=φ(x) – произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
Интегралы :
xn dx = xn+1/(n+1) + c
dx/x = ln|x| + c
ax dx = ax/ln a + c
ex dx = ex + c
sin x dx = - cos x + c
cos x dx = sin x + c
tg x dx = -ln|cos x| + c
ctg x dx = ln|sin x| + c
dx/(cos2 x) = tg x + c
dx/(sin2 x) = -ctg x + c
dx/(a2-x2) = arcsin x/a +c
dx/(x2+a2) = ln|x+x2+a2| +c
dx/(a2+x2) = 1/a arcsin x/a +c
dx/(a2-x2) = 1/2a ln|a+x/a-x|+c
2)
Метод замены переменной заключается в сведении неопределенных интегралов к табличным.
Т.Пусть требуется вычислить интеграл f(x)dx. Сделаем подстановку x=φ(t), где φ(t) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда dx=φ’(t)dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования Н.И. получаем:
Метод интегрирования по частям основывается на следующем утверждении.
Т. Пусть u(x) и v(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv)=udv+vdu. Интегрируя это равенство, получим:
или
3) Интегрирование простейших рациональных функций
О.Многочленом степени n называется выражение вида
a0+a1x+a2x2+…+anxn, где ai- действительные числа, an≠0, n≥0.
О.Рациональной дробью (рациональной функцией) называется отношение двух многочленов P(x)/Q(x).
Если степень многочлена числителя больше или равна степени многочлена знаменателя, то такая дробь называется неправильной. Если меньше, то дробь правильная.
Пусть R(x)/Q(x) - неправильная дробь, тогда, выполнив деление, получаем
R(x)/Q(x)=W(x)+ P(x)/Q(x), где W(x) - некоторый многочлен, а P(x)/Q(x) - правильная дробь.
Выделим из класса правильных дробей так называемые основные простые дроби. Это дроби следующих четырех типов:
1) 2) 3) 4)
,где a,p,q,A,M,N - вещественные числа,k>1 - целое число.
Рассмотрим интегралы от этих простых дробей.
Дроби типов 1 и 2 интегрируются с помощью подстановки t=x-a:
1) 2)
3) Выделим из трехчлена в знаменателе полный квадрат x2+2px+q=(x+p)2+a-p2
Далее следует подстановка t=x+p, x=t-p, dx=dt, Т.о., получаем:
4) Введем новую переменную t=(x+p)/a, где a=√q-p2, откуда x=at-p, dx=adt.
В результате подстановки получаем. Далее разбиваем интеграл в правой части на два слагаемых
Первый интеграл:
4) Пусть под знаком Н.И. неправильная дробь, выделим ее целую часть путем деления числителя на знаменатель.
Получаем: R(x)/Q(x)=W(x)+ P(x)/Q(x), где R(x)/Q(x)- неправильная р.д., W(x) - некоторый многочлен, P(x)/Q(x)-правильная р.д.
Т.к. P(x)/Q(x) - правильная рациональная дробь, у которой знаменатель представлен в виде многочлена, тогда эту дробь можно представить в виде суммы простых дробей:
,где А1,А2,…,Аr,M1,N1,…,M5,N5,… - некоторые вещественные числа.
Выражение называется разложением правильной дроби на простейшие рациональной дроби.
Далее умножаем обе части выражения на Q(x). С помощью метода неопределенных коэффициентов находим А1,А2,…,Аr,M1,N1,…,M5,N5,…(Так как равенство между многочленом P(x) в левой части и многочленом в правой части должно соблюдаться для всех x, то коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях должны быть равны между собой). Далее Интегрируем полученного равенства.
5) Интегрирование тригонометрических выражений.
Фунуцию с переменными sinx и cosx ,над которыми вып.рациональные действия (сложение,вычитание,умножение,деление) принято обозначать R(sinx;cosx), где R-знак рациональной функции.
Вычисление Н.И. типа ∫R(sinx;cosx)dx сводиться к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой tgx/2=t (универсальная тригонометрической подстановка)
На практике удобно использовать след.правила:
1)если функция R(sinx;cosx) нечетная относительно sinx ,т.е. R(-sinx;cosx)=-R(sinx;cosx) ,то подстановка cosx=t рационализирует интеграл.
2)если функция R(sinx;cosx) нечетная относительно cosx ,т.е. R(sinx;-cosx)=-R(sinx;cosx) ,то подстановка sinx=t рацианализирует интеграл.
3)если функция R(sinx;cosx) четная относительно sinx и cosx,т.е. R(-sinx;-cosx)=R(sinx;cosx) ,то подстановка tgx=t рацианализирует интеграл.
Интегралы типа ∫sinαx cosβx dx:
1. Если α=2n+1 – нечетное число, то подстановка sin x=t
2. Если β =2n+1 – нечетное число, то подстановка cos x=t
3. Если α+β – четное отрицательное число, то подстановка tgx=t
4. Если α и β–целые не отриц. четные числа, то формулы понижения степени
, ,
Интегрирование некоторых видов иррациональностей.
Функция типа R(x, n√(ax+b)/(cx+d)), где a,b,c,d - некоторые постоянные, n - любое целое положительное число называется дробно-линейной иррациональностью.
Интеграл от этой функции при ad-bc≠0 рационализируется подстановкой t=n√(ax+b)/(cx+d).
Интегралы типа ∫dx/√ax2+bx+c, ∫√ax2+bx+c dx, ∫(mx+n)/(√ax2+bx+c) dx называют Н.И. от квадратичных иррациональностей. Их можно найти след.образом: под радикалом выделить полный квадрат: ax2+bx+c=a((x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a2) и сделать подстановку x+b/2a=t.
Тригонометрическая подстановка.
Интегралы типа ∫R(x; √a2-x2)dx (1), ∫R(x; √a2+x2)dx (2), ∫R(x; √x2-a2)dx (3)приводятся к интегралам от функций,рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью следующих тригонометрических подстановок: x=a sint (1), x=a tgt (2), x=a/sint (3)
6) Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a;b], a<b. Выполним след.действия:
1.Разобьём отрезок [a;b] точками a=x0,x1,…,xn=b на n частичных отрезков [x0;x1],..[xn-1;xn].
2.В каждом частичном отрезке [xi-1;xi],i=1,2,..,n выберем произвольную точку ci є[xi-1;xi] и вычислим значение функции в ней, т.е. величину f(ci).
3.умножим найденное значение f(ci) на длину ∆xi=xi-xi-1 соответствующего частичного отрезка:f(ci)∙∆xi.
4.Составим сумму Sn всех таких произведений: Sn= f(c1)∙∆x1 +…+ f(cn)∙∆xn= –интегральная сумма функции y=f(x) на [a;b]. Обозначим через λ длину макс.частичного отрезка: λ=max∆xi.
5.Найдем предел интегральной суммы, когда n→∞, так что λ→0.
Если при этом инт.сумма Sn имеет предел I, который не зависит от способа разбиения отрезка [a;b] на частичные отрезки, ни от выбора точек, то число I называется определенным интегралом от функции y=f(x) на [a;b] и обозначается . Т.О. .
Т. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] ,то определенный интеграл a∫b f(x)dx существует.
Геометрический смысл О.И.: О.И. от неотриц.функции численно равен площади криволинейной трапеции (Фигура ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу осью Ox,сбоку – прямыми x=a и x=b)
Задачи приводящие к определению О.И.:
- Работа переменной силы F,величина которой есть непрерывная функция F=F(x),действующей на отрезке [a;b],равна О.И. от величины F(x) силы, взятому по отрезку [a;b]:
- Путь S,пройденный точкой за промежуток времени от t=a до t=b,равен О.И. от скорости v(t):