32. Следствия из преобразований Лоренца: одновременность событий в разных системах отсчета; длительность событий в разных системах отсчета; длина тел в разных системах отсчета.

1.Одновременность событий в разных системах отсчета. Пусть в системе К в точках с координатами х₁ и х₂ в моменты времени t₁ и t₂ происходят два события. В системе К' им соответствуют координаты х₁' и х'₂ и моменты времени t'₁ и t'₂. Если события в системе К происходят в одной точке (х₁ = х₂) и являются одновременными (t₁ = t₂), то согласно преобразованиям Лоренца (2),

х₁' = х'₂, t'₁ = t'₂,

т.е. эти события являются одновременными и пространственно совпадающими для любой инерциальной системы отсчета.

Если события в системе К пространственно разобщены (х₁ ≠ х₂), но одновременны (t₁ = t₂), то в системе К', согласно преобразованиям Лоренца

x'₁ = (x₁ – vt)/√1 – β² , x'₂ = (x₂ - vt)/√ 1 – β² ,

t'₁ = (t – vx₁ /C² )/ √ 1 – β² , t'₂ = (t' – vx₂ /C² )/ √ 1 – β² , (3)

х'₁ ≠ x'₂ , t'₁ ≠ t'₂ .

Таким образом, в системе К' эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются и неодновременными. В одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому.

2. Длительность событий в разных системах отсчета.

Пусть в некоторой точке с координатой Х, покоящейся относительно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показаний часов в конце и начале события) τ = t₂ – t₁, где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу события. Длительность этого же события в системе К^' τ^' = t^'₂ – t^'₁, (4)

причем началу и концу события, согласно (2), соответствуют t^'₁ = (t₁ – VX/C²)/√1 – β², t^'₂ = (t₂ – VX/C²)/√1 – β². (5)

Подставляя (5) в (4), получаем τ^' = (t₂ – t₁)/ √1 – β², или

τ^' = τ / √1 – β². (6)

Из соотношения (6) вытекает, что τ<τ^' , т.е. длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна.

3. Длина тел в разных системах отсчета. Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси ОХ^' и покоящийся относительно системы К^'. Длина стержня в системе К^' будет l^'₀ = x^'₂ - x^'₁, где x^'₁ и x^'₂ – не изменяющиеся со временем t^' координаты начала и конца стержня, а индекс 0 показывает, что в системе отсчета К^' стержень покоится. Определим длину этого стержня в системе К, относительно которой он движется со скоростью V. Для этого необходимо измерить координаты его концов х₁ и х₂ в системе К в один и тот же момент времени t. Их разность l = х₂ - х₁ и определяет длину стержня в системе К. Используя преобразование Лоренца (2), получим l^'₀ = x^'₂ - x^'₁ = (x₂ – Vt)/ (√1 – β² ) - (x₁ – Vt)/ (√1 – β² ) = (x₂ – x₁) / (√1 – β²),т.е. l^'₀ =l/ (√1 – β² ). (7)

Таким образом, длина стержня, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины, измеренной в системе, относительно которой стержень покоится. Если стержень покоится в системе К, то, определяя его длину в системе К^', опять-таки придем к выражению (7). В каждой системе отсчета получаем одинаковый результат; относительность длины, как и относительность времени, взаимна.

Из (7) следует, что линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в √(1–β²) раз, т.е так называемое лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость движения. Из второго и третьего уравнений преобразований Лоренца (2) следует, что y^'₂ - y^'₁ = y₂ – y₁ и z^'₂ - z^'₁ = z₂ – z₁,т.е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, линейные размеры тела наибольшие в той инерциальной системе отсчета, относительно которой тело покоится.