22. Решение задачи оптимального регулирования для квадратичного критерия и линейного объекта.

Под аналитическим проектированием регулятора понимается решение задачи оптимального регулирования для линейного объекта и квадратичного критерия. Пусть уравнение объекта

где и – непрерывные матрицы.

Критерий качества регулирования

(1)

где – симметричная [n x n] не отрицательная определенная весовая матрица; – симметричная [m x m] положительно определенная весовая матрица.

Требуется найти вектор U* при котором выражение 1 имеет минимум, а также определить I* ровному этому минимальному значению.

Смысл квадратичного критерия.

– является мерой колебательности вектора I, т.е. учитывает качество переходного процесса.

– является мерой количества энергии затрачиваемой на регулирование.

– является мерой колебательности вектора х от установившегося значения в конце интервала регулирования.

Основная сложность состоит в выборе весовых матриц и . Т.к. 1 является квадратичной формой, предполагаем, что выражение для I* также является квадратичной формой, т.е

где – симметричная матрица.

Сравнивая 1 с и с получаем

(2)

После преобразований получим

(3)

Данное уравнение называется уравнением Гамильтона-Якоби.

Граничным условием является

;

После преобразований получим (4)

Данное уравнение является матричным нелинейным ДУ и носит название уравнение Рикатти. Граничным условием является .

Согласно выражению 2 оптимальное значение критерия

(5)

Выражения 4 и 5 справедливы для любого начального значения времени, т.е.

Закон регулирования 7 можно представить в виде

Из 8 следует:

1. Закон регулирования предполагает построение системы с обратными связями.

2. Закон регулирования является пропорциональным, т.е. не содержит производных и интегралов от Х.

3. Замкнутая система является системой с переменными параметрами т.к. матрица К зависит от времени, даже объект стационарен, а матрицы R и Q имеют постоянные коэффициенты.

4. Решение характеризует свободные колебания системы.

5. Основные трудности построения системы по данному методу состоят в решении уравнения Рикатти и выборе матриц R и Q.

Если оптимизация осуществляется на интервале времени то

Где установившееся решение 4. При этом и уравнение Рикатти имеет вид: (9)

Следовательно, являетя решением нелинейного алгебраического уравнения 9. В этом случае матрица R не зависит от времени, если матрицы A,B,R и Q постоянны. Т.о. стационарную САР можно получить только при оптимизации на бесконечном интервале времени.

23. Метод последовательной оптимизации контуров.

При синтезе по данному методу система является многоконтурной, при этом каждый последующий контур входит в состав предыдущего:

где – ПФ регуляторов

– ПФ составных частей объекта.

Расчет контуров осуществляется последовательно, начиная с самого внутреннего. При этом для последующего контура внутренний контур со своей ПФ рассматривается как часть объекта.

ПФ регуляторов выбирают так, чтобы переходной процесс соответствовал техническому оптимуму (модульному оптимуму – для статических систем и симметричному – для астатических).

Настройка по модульному оптимуму обеспечивает лучшее качество ( ) и лучшее быстродействие, при этом корни характеристического уравнения имеют одинаковую вещественную и мнимую части.

При настройке на модульный оптимум желаемая ПФ настраиваемого контура в разомкнутом состоянии имеет вид:

При n=1

При n=2

При n=3

Для n-го порядка:

где n – порядок объекта для настраиваемого контура;

– наименьшая нескомпенсированная постоянная времени;

– характеристический полином замкнутого контура, находящегося внутри настраиваемого.

Обычно принимается наименьшей постоянной времени объектов, включая внутренний контур.

Большие постоянные времени компенсируются путем введения в регулятор звеньев с аналогичными постоянными времени в числителе. При этом время регулирования связано с наименьшей постоянной времени следующим образом:

Вид системы	Время регулирования tp
	n=1	n=2		n=3
Статическая (МО)
Астатическая(СО)