14. Понятие наблюдаемости динамической системы. Критерии и методы оценки наблюдаемости.

При синтезе САР методом размещения полюсов и синтезе наблюдателя возникает вопросы: всегда ли можно реализовать данные процедуры математически. Это означает всегда можно найти коэф матр К и G. Другими словами всегда можно найти з. управляемости u(t), который бы переводим систему из одного состояния в другое желаемым образом и за конечное время и всегда ли можно определить время и всегда ли можно определить начальное значение вектора состояния путём наблюдения за входом и выходом объекта на конечном интервале времени. Ответы на эти вопросы связывают с понятием управляемости и наблюдаемости.

В простейшем случае наблюдаемость и управляемость системы можно оценить по её модели или структурной схеме.

Состояние X(t₀) является наблюдаемым, если его можно определить по результатам измерения y(t) и U(t) на конечном интервале времени t₀ –t₁ (t₀ > t₁).

Система является полностью наблюдаемой если наблюдаемы все её состояния в любые моменты времени.

Наблюдаемость можно оценить с помощью матрицы С.

Запишем уравнение связи для системы в развёрнутом виде:

Из данного уравнения следует, что переменная является наблюдаемой не все элементы i-го столбца матрицы С равны нулю.

Линейная стационарная система является наблюдаемой, если матрица С не содержит столбцов, все элементы которых равны нулю.

Математически наблюдаемость означает возможность определения матрицы G, которая может быть вычислена по формулам Акермана.

Из формулы Акермана следует, что система является наблюдаемой, если матрица имеет ранг n, то есть её определитель не равен нулю.

Т.о. наблюдаемость определяется свойствами матриц А и С.

15 Дуальность критериев управляемости и наблюдаемости. Декомпозиция систем.

Два объекта называются дуальными, если они описываются системами уравнений.

Из критериев управляемости и наблюдаемости (формула Акермана) из выражений следует, что если один объект управляем в момент t0, то другой объект наблюдаем, если объекты дуальны и наоборот. Таким образом управляемость и наблюдаемость объекта можно проверить через наблюдаемость и управляемость дуально.

Декомпозиция систем.

Неуправляемость и не наблюдаемость системы означает, что часть переменных состояния не связано со входом или выходом системы. Выделение этих переменных позволяет разделить систему на отдельные подсистемы. В общем случае не управляемая и не наблюдаемая система может раздел. На 4 подсистемы путём декомпозиции вектора состояния.

Где xa – вектор управ но не наблюдаемости переменных

Xb – вектор наблюдаемости и управляемости

Xc – вектор не наблюдаемости и не управляемости перемен.

Xd – вектор неуправляемых но наблюдаемых переменных

При этом уравнение состояния сводится к виду

16. Проблемы обнаружения и последствия неуправляемости и ненаблюдаемости.

Проблемы обнаружения:

Данная проблема возникает, когда проектир-ние системы осуществляется на основе ПФ-й или модели в ПС-нии, полученной на основе ПФ-и. ПФ-ю можно получить из модели в ПС-нии следующим образом:

Если объект содержит неуправляемую и ненабл-мую часть, то:

Т.о. полученная ПФ-я соотв-ет части системы, которая полностью управляема и наблюдаема и описывается уравнениями:

Т.о. в ходе преобразования модели в ПС-нии в ПФ-ю и обратно произошло сокращение неупр-мых и ненабл-мых переменных. ПФ-я не содержит информации о данных переменных. При обратном преобразовании из ПФ-ивосстанавливается не вся система, а только её управляемая и наблюдаемая часть, при этом искусственно снижается порядок модели. При преобразовании ПФ-й потеря информации о неупр-мости и ненабл-мости происходит вследствие сокращения нулей и полюсов.

Последствия:

Если в системе есть неупр-мые переменные, то они будут влиять на выход системы и будут ухудшать качество регулирования. Их влияние появится при действии возмущений, и компенсировать это влияние за счёт входного воздействия невозможно, т.е. нельзя построить регулятор n-ного порядка методом размещения полюсов.

Если в системе есть ненабл-мые переменные, то нельзя синтезировать наблюдатель n-ного порядка. Однако, если ненабл-мые переменные поддаются изменению, то можно построить систему с регулятором n-ного порядка. Если же эти переменные измерить нельзя, то построение системы с наблюдателем пониженного порядка может привести к выходу из строя системы, если наблюдаемые переменные превысят допустимые значения.

Аналогичные последствия могут иметь место, если в системе имеются ненабл-мые нуль и полюс. Поэтому, следует исключит возможность появления нуля, близкого к значению одного из полюсов.

Если по ходу сигнала первым располагается нуль, а затем полюс, то система неуправляема. Если первый полюс – ненабл-ма. Особый случай, когда одинаковые нуль и полюс располагаются в правой полуплоскости, т.е. разомкнутая система неустойчива.

Если неустойчивый полюс соединён с выходом, т.е. система неупр-ма, то замкнутая система может терять устойчивость под действием возмущений. Если же неустойчивый полюс ненаблюдаем, то может возникнуть внутренняя неустойчивость системы, приводящая к поломкам системы.