9.Производные функций нескольких переменных.

Нахождение производной функции нескольких переменных

Пусть дана функция нескольких переменных . Требуется найти ее частные производные . О том, как это сделать, Вы сможете прочитать здесь. Нахождение производной функции нескольких переменных. Пусть дана функция нескольких переменных .

Требуется найти ее частные производные .

Чтобы решить такую задачи, нужно продифференцировать функцию F по одной из переменной (например, по переменной х), а остальные считать константами. Тогда для производных получаем следующие выражения:

Производная не разбирается, потому что она аналогична частной производной по переменной х.

Что было сделано, чтобы получить такой результат?

У нас есть показательная функция . Ее производная по К равна . Но в нашем случае переменная К представляет собою функцию от (x,z). Значит, мы должны добавить еще и производную . В нашем случае, значит ее производная по переменной х будет равна , а по переменной z – .

Вот и все, что надо помнить, при нахождении частных производных функций нескольких переменных:

уметь брать простые частные производные;

при нахождении производной по одной из переменной, остальные считать константами;

помнить о производной сложной функции.

10.Дифференциалы функций нескольких переменных.

• Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (x¹, х²... хⁿ) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z.

• Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = f (x¹, х² , ... хⁿ).

• Например, формула z = π x₁² х₂ задает объем цилиндра z как функцию двух переменных: радиуса основания x₁ и высоты х₂ .

• Линией уровня функции двух переменных z = f (x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и тоже и равно С.

• Дадим аргументу х приращение Δх, аргументу у – приращение Δу. Тогда функция z = f (x,у) получит наращенное значение f (x + Δх, у + Δу).

• Величина Δz = f (x + Δх, у + Δу) – f (x,у) называется полным приращением функции в точке (х,у).

• Если задать только приращение аргумента х или только приращение аргумента у, то полученные приращения функции, соответственно

• Δ_хz = f (x + Δх, у) – f (x,у) и Δ_уz = f (x , у + Δу) – f (x,у) называются частными.

• Функция z = f (x,у) называется непрерывной в точке М₀(х₀,у₀),если

• 1. Она определена в этой точке и некоторой её окрестности.

2. 2.

• Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует), т.е.

11.Поиск экстремума функции.

Точка х₀ называется точкой минимума функции ( х), если в некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство ( х)  ( х₀).

Точка х₁ называется точкой максимума функции ( х), если в некоторой окрестности точки х₁ выполняется неравенство ( х)  ( х₁).

Значение функции в точках х₀ и х₁ называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Необходимое и достаточное условия экстремума

Теорема (необходимое условие экстремума) Для того чтобы функция у = ( х) имела экстремум в точке х₀, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (( х₀) = 0) или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются стационарными. Обращаем внимание на то, что эти точки должны входить в область определения функции.

Теорема (достаточное условие существования экстремума). Если при переходе через точку х₀ производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка х₀ есть точка максимума функции у =( х), а если с минуса на плюс, то - точка минимума.

Схема исследования функции на экстремум

• Найти производную у = ( х).

• Найти стационарные точки функции, в которых производная ( х) = 0 или не существует.

• Исследовать знак производной слева и справа от каждой стационарной точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

• Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

• Найти производную у = ( х).

• Найти стационарные точки функции, в которых производная ( х) = 0 или не существует.

Ф ункция у =  ( х) называется выпуклой вниз на промежутке Х, если для любых двух значений х1, х2  Х выполняется неравенство:

Ф ункция у =  ( х) называется выпуклой вверх на промежутке Х, если для любых двух значений х1, х2  Х выполняется неравенство:

• Как и в случае одной переменной, функция z = f (x,у) имеет узловые, определяющие структуру графика, точки.

• Точка М₀ (х₀, у₀) называется точкой максимума (минимума) функции z = f (x,у) , если существует окрестность точки М такая, что для всех точек (х, у) из этой окрестности выполняется неравенство:

• Т еорема (необходимое условие экстремума). Пусть точка М₀ (х₀, у₀) – есть точка экстремума дифференцируемой функции z = f (x,у) . Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.

• Е сли частные производные и сами являются дифференцируемыми функциями, то можно найти также и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка ( , = и

• ).

Т еорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция z = f (x,у):

• 1 ) определена в некоторой окрестности стационарной точки (х₀,у₀), в которой .

• 2 ) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка (х₀, у₀) =А, (х₀, у₀) = (х₀, у₀) = В и (х₀, у₀) =С.

• Тогда, если Δ=АС-В²>0, то в точке(х₀, у₀) функция имеет экстремум, причем, если А<0 – максимум, если А>0 – минимум.

• В случае Δ= АС-В² <0, функция экстремума не имеет.

• Если Δ =АС-В² =0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

• Схема исследование функции двух переменных на экстремум:

• 1 ) Найти частные производные

• 2) Решить систему уравнений , и найти стационарные точки функции.

• 3) Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой стационарной точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.