1.Графики и свойства основных элементарных функций

• 1.Четность и нечетность. Функция у = f(х) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-х)= f(х) и нечетной, если f(-х) = - f(х). В противном случае функция у = f(х) называется функцией общего вида.

• Например, функция у = х, является нечетной, так как f(-х) = - х = -f(х).

• График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

• 2.Монотонность. Функция у = f(х) называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

• Функции возрастающие и убывающие называются строго монотонными функциями.

• Например, функция у = х, является возрастающей для всех хÎR.

• 3.Ограниченность. Функция у = f(х) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число М, что | f(х)| £ М для любого хÎ Х.

• Например, функция у = sin х ограниченна на всей числовой оси, т.к. | sin х | £ 1 для любого хÎR.

• 4.Периодичность. Функция у = f(х) называется периодической с периодом Т ¹ 0, если для любых х из области определения функции f(х+Т) = f(х).

• Например, функция у = sin х имеет наименьший положительный период Т = 2p, так как для любых х sin (х+2p) = sin х.

• Основными элементарными функциями называются следующие функции:

• степенная у = хⁿ, где nÎN;

• показательная у = а^х, где а > 0, а ¹ 1;

• логарифмическая у = log_ax ,где а > 0, а ¹ 1;

• тригонометрические: у = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

Четность четная при нечетная при четная нечетная 5. Корни при x = 0 x = 0 6. Монотон-ность при a < 0 убывает при a > 0 возрастает при a = 0 постоянная убывает на возрастает на Возрастает 7. Экстремумы –– min при x = 0 –– Функция   1. D(x) 2. E(y) 3. Период ––– ––– 4. Четность нечетная ––– 5. Корни нет x = 0 6. Монотонность убывает на каждом из интервалов и возрастает 7. Экстремумы ––– min при x = 0 

Графики элементарных функций

2.Предел функции

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) — одно из основных понятий математического анализа, значение, к которому функция в определённом смысле приближается при приближении аргумента к определённой точке. Функция имеет предел в точке , если для всех значений , достаточно близких к , значение близко к .

3.Основные теоремы о пределах.Асимптоды графика функций

Теорема 1. Функция не может иметь более одного предела

Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.

Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.

Следствие.1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Следствие 2. Предел степени равен степени предела, т.е

Теорема 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, при условии, что предел делителя не равен нулю, т.е.

Асимптоты графика функции

Определение 11 (вертикальная асимптота). Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов

lim_{x a+0}f(x) или lim_{x a-0}f(x)

равен + или -.

Определение 12 (наклонная асимптота). Говорят, что прямая y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x, если f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+ (x),

где lim_{x} (x) = 0.

Справедлива

Теорема 13 (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

lim_{x}f(x)/x = k, lim_{x}(f(x)-kx) = b.

Доказательство.

1. Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+(x),

тогда

lim_{x}f(x)/x = (kx+b+(x))/x = k,

lim_{x}(f(x)-kx) = lim_{x}(b+(x)) = b.

2. Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x. Обозначив f(x)-kx-b = (x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.

Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 13 при x.

Замечание. Если k=0 в определении наклонной асимптоты, то наклонная асимптота является горизонтальной.

• Асимптотой графика функции у =¦( х) называется прямая, обладающая следующим свойством, что расстояние от переменной точки на графике до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат.

• Теорема 1. Пусть функция у = ¦( х) определена в некоторой окрестности точки х₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х® х₀ – 0 (слева) или при х® х₀ + 0 (справа) – равен бесконечности, тогда прямая при х = х₀ является вертикальной асимптотой графика функции у = ¦( х).

• Замечание. Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции у = ¦( х) или на концах ее области определения (а, b) если а и b - конечные числа.

• Теорема 2. Пусть функция у = ¦(х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции при х ® ¥ и он равен числу b. Тогда прямая у = b есть горизонтальная асимптота графика функции у = ¦( х).

Замечание. Если конечен лишь один из пределов слева или справа, то функция имеет лишь левостороннюю или правосторонюю асимптоту.

• Теорема 3. Пусть функция у = ¦( х) определена при достаточно больших х и существует конечные пределы

• Тогда прямая у = kx + b является наклонной асимптотой