Задача 1.4

Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу 80 г (рис. 1.2), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами 100 и 200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением и массой нити пренебречь.

Дано: m = 80 г = 0,08 кг; m1 = 100 г = 0,1 кг; m2 = 200 г = 0,2 кг.	Рис. 1.2
а = ?

Решение

Воспользуемся основными уравнениями динамики поступательного и вращательного движений. Для этого рассмотрим силы, действующие на каждый груз в отдельности и на блок. На первый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити) . Спроектируем эти силы на ось Х, которую направим вертикально вниз, и напишем уравнение движения (2-й закон Ньютона):

. (1.7)

Уравнение движения для второго груза запишется аналогично:

(1.8)

Под действием двух моментов сил и относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа, блок приобретает угловое ускорение

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения,

(1.9)

где – момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z.

Согласно 3-му закону Ньютона, с учетом невесомости нити

.

Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (1.9) вместо и выражения Т₁ и Т₂, получив их предварительно из уравнений (1.7) и (1.8):

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем

(1.10)

Формула (1.10) позволяет массы выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускорение – в единицах СИ. После подстановки числовых значений в формулу (1.10) получим

Задача 1.5

Платформа в виде сплошного диска радиусом 1,5 м и массой 180 кг вращается по инерции около вертикальной оси с частотой 10 об/мин. В центре платформы стоит человек массой 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Дано: R = 1,5 м; m = 180 кг; n = 10 об/мин = 1/6 об/c.

Решение

Платформа вращается по инерции. Следовательно, момент внеш-них сил относительно оси вращения, совпадающей с геометрической осью платформы, равен нулю. При этом условии момент импульса L_z системы платформа – человек остается постоянным:

, (1.11)

где J_z – момент инерции платформы с человеком относительно оси вращения;

– угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому

,

где J₁ – момент инерции платформы;

J₂ – момент инерции человека.

С учетом этого равенства (1.11) примет вид

или

(1.12)

где значения моментов инерции J₁ и J₂ относятся к начальному состоянию системы, – к конечному. Момент инерции платформы относительно оси вращения Z при переходе человека не изменяется:

.

Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J₂ в начальном положении (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном положении (на краю платформы) момент инерции человека

Подставим в формулу (1.12) найденные выражения моментов инерции, а также выразим начальную угловую скорость вращения платформы с человеком через частоту вращения n ( ) и конечную угловую скорость – через линейную скорость  человека относительно пола :

После сокращения на R² и простых преобразований находим интересующую нас скорость:

Подставим числовые значения физических величин в СИ и произведем вычисления:

м/c = 1 м/c.