Решение

Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом q₁ зависит от линейной плотности заряда на стержне. Зная эту зависимость, можно определить . При вычислении силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применить нельзя.

В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим из стержня (рис. 2.1) малый участок dr с зарядом dq = dr. Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона,

Интегрируя это выражение в пределах от а до (a + l), получаем

откуда

Произведем вычисления:

Задача 2.2

По тонкому кольцу равномерно распределен заряд 40 нКл с линейной плотностью 50 нКл/м. Определить напряженность электрического поля, создаваемого этим зарядом в точке, лежащей на оси кольца и удаленной от его центра на расстояние, равное половине радиуса.

Дано:	Рис. 2.2
E = ?

Решение

Совместим координатную плоскость ХОY с плоскостью кольца, а ось О – с осью кольца (рис. 2.2). На кольце выделим малый участок длиной dl. Так как заряд на этом участке можно считать точечным, напряженность электрического поля, создаваемого этим зарядом, может быть написана в виде

где – радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке А.

Разложим вектор на две составляющие: dE₁, перпендикулярную плоскости кольца (сонаправленную с осью OZ), и dE₂, параллельную плоскости кольца (плоскости ХОY), т.е.

Напряженность электрического поля в точке А найдем интегрированием:

где интегрирование ведется по всем элементам заряженного кольца.

Заметим, что для каждой пары зарядов dq и , расположенных симметрично относительно центра кольца, векторы и в точке А равны по модулю и противоположны по направлению:

.

Поэтому векторная сумма (интеграл)

Составляющие для всех элементов кольца сонаправлены с осью OZ.

Тогда

Так как

,

то

Таким образом,

Из отношения определим радиус кольца:

.

Тогда

Произведем вычисления:

Задача 2.3

Две концентрические проводящие сферы радиусами 6  и 10 см несут соответственно заряды q₁ = 1 и q₂ = –0,5 нКл. Найти напряженность поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояния r₁ = 5 см; r₂ = 9 см; r₃ = 15 см; считать  = 1.

Дано:	Рис. 2.3
E1 = ? E2 = ? E3 = ?

Решение

Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях (рис. 2.3): области I (r₁ < R₁), области II (R₁ < r₂ < R₂), области III (r₃ > R₂). Для определения напряженности Е₁ в области I проведем гауссову поверхность S₁ радиусом r₁ и воспользуемся теоремой Остроградского – Гаусса:

,

так как суммарный заряд, находящийся внутри гауссовой поверхности, равен нулю.

Из соображений симметрии E₁ = const. Следовательно, во всех точках, удовлетворяющих условию r₁ < R₁, E₁ = 0.

В области II проведем гауссову поверхность радиусом r₂. В этом случае

т.к. внутри гауссовой поверхности находится только заряд q₁.

Так как E₂ = const, его можно вынести за знак интеграла:

где – площадь гауссовой поверхности.

Тогда

В области III проведем гауссову поверхность радиусом r₃. Обозначим напряженность Е области III через Е₃ и учтем, что в этом случае гауссова поверхность охватывает обе сферы и, следовательно, суммарный заряд будет равен q₁ + q₂.

Тогда

Заметив, что q₂ < 0, это выражение можно переписать в виде

Произведем вычисления:

;