0. Операции над множествами

Объединением множеств А и В (обо­значается А В) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис 1.2):

А В= {х:х А или х В}.

Рисунок 1.2

Пример1.

Пусть заданы множества А={a, b, d},B={b, d, e, h}.

Найти объединение данных множеств.

Решение.

А В= {a, b, d, e, h}.

Пересечением множеств А и В (обозна­чается А В) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элемен­тов, которые принадлежат и А и В (рис 1.3):

А В= {х:х А и х В}.

Рисунок 1.3

Пример 2.

Пусть заданы множества А={a, b, d},B={b, d, e, h}.

Найти пересечение данных множеств.

Решение.

А В= {b, d}.

Разностью множеств А и В (обозначается А\В) называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис 1.4):

А\В={х:х А и х В}.

Разность - операция строго двухместная и некоммутатив­ная: в общем случае А\В В\А.

Пусть U'-универсальное множество такое, что все рассматриваемые множе­ства являются его подмножествами.

Рисунок 1.4

Пример 3. Пусть заданы множества А={a, b, d},B={b, d, e, h}. Найти разность данных множеств.

Решение.

А\В = {а}.

B\A={e, h}.

Дополнением (до U) множества А (обозначается ) называется множество всех элементов, не принадлежащих А (но принадлежащих U) (рис. 1.5):

A =U\A.

Рисунок 1.5

Операции объединения, пересечения, дополнения часто называют булевыми операциями над множествами.

Упражнения

1. Пусть А={1, 2, 3, 4, 10, 20}, В={6, 10, 11, 15}. Найти А В.

2. Пусть С={100, 105, 106 120}, D={95, 100, 105, 130, 140}. Найти А D.

3. Пусть А={a, b, d, e, f, i, j}, В={e, f, i, k, l, m}. Найти А\В, B\A.

4. Пусть U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, F={2, 3, 5, 6, 7}. Найти .

0. Свойства операций объединения и пересечения

Для произвольных множеств А, В, С выполняются следующие соотношения.

1. Идемпотентность (А А=А; A A=A).

2. Коммуникативность (А В=В А; A В=В A).

3. Ассоциативность ((А В) С=А (В С); (А В) С=А (В С)).

4. Дистрибутивность ( А (В С)=(А В) (А С);

А (В С)=(А В) (А С)).

5. Поглощение ((А В) A=А; (А В) A=А ).

6. Свойство нуля (А Ø=Ø; А Ø=А).

7. Свойство единицы (А U=A; A U=U).

8. Инволютивность ( ).

9. З аконы де Моргана ( , ).

10. Свойства дополнения ( , Ø).

0. . Диаграммы Венна

Диаграммы Венна - геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуе­мом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответ­ствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Приведенные на рис. 1.2 - 1.5 иллюстрации операций объединения, пересечения, разности и дополнения двух мно­жеств являются диаграммами Венна.

Пример 1. Представить множество А (В ) диаграм­мой Венна.

Начнем с общей диаграммы, показанной на рис. 1.6,а.

Заштрихуем В диагональными линиями в одном направлении, а - в другом (рис. 1 .6, б). Площадь с двойной штри­ховкой представляет собой их пересечение, т.е. множество (В ). Выделим это множество жирной линией. На новой копии диаграммы заштрихуем эту область (В ) линиями одного направления, a A - другого. Вся заштрихованная на рис. 1..6,в область представляет объединение множеств А (В ), т.е. множество А (В ). Обведем искомую область так­же жирной линией.

Рисунок 1.6, а

Рисунок 1.6, б

Рисунок 1.6, в

Упражнения.

Пусть А, В, С U. Проиллюстрировать на примере конкретных множеств и с помощью диаграмм Венна справедливость следующих соотношений:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,