Связь между криволинейным интегралом второго рода вдоль замкнутой кривой на плоскости и двойным интегралом. Формула Грина.
Пусть C
– кусочно-гладкая замкнутая кривая,
ограничивающая область D.
На кривой C
задано такое направление, что при
движении в этом направлении область D
остается слева. Функции
и
непрерывны в области D
вплоть до ее границы, кроме того, функции
и
также непрерывны в D
вплоть до границы. Тогда справедлива
формула Грина
.
(ФГ)
1. Докажем формулу Грина сначала для случая, когда область D выпукла в направлении координатных осей, то есть, любые прямые, параллельные осям координат и пересекающие область D, пересекают ее границу либо не более, чем в двух точках, либо по отрезку прямой.
Обозначим,
как это показано на рисунке, проекции
области D
на координатные оси
и
.
Запишем уравнения фрагментов кривой
C,
однозначно проецирующихся на
,
в виде
.
Запишем уравнения фрагментов кривой
C,
однозначно проецирующихся на
,
в виде
.
Сосчитаем
сначала интеграл
.
Представим его в виде суммы криволинейных
интегралов по двум фрагментам, однозначно
проецирующимся на отрезок
.
Если на C
есть еще и отрезок, параллельный оси
OY,
то рассматриваемый интеграл по этому
отрезку равен нулю, так как
.
На первом фрагменте мы получим
параметризацию
причем в соответствии с заданием
направления движения параметр
должен
возрастать, когда мы движемся по этому
фрагменту в заданном направлении. На
втором фрагменте имеем параметризацию
причем параметр
убывает, когда мы движемся по второму
фрагменту в заданном направлении. Таким
образом,
.
Для того, чтобы
сосчитать интеграл
,
разобьем С на фрагменты, однозначно
проецирующиеся на отрезок
.
В случае, когда на C
есть отрезок, параллельный OX,
то на нем
,
и значит рассматриваемый интеграл вдоль
этого отрезка обращается в ноль. На
первом фрагменте введем параметризацию
причем при заданном направлении движения
параметр
должен убывать при проходе по этому
фрагменту. На втором фрагменте
параметризация
и параметр
возрастает при проходе по фрагменту в
заданном направлении. Следовательно,
.
Суммируя, получим формулу Грина для областей указанного вида.
2. Для доказательства
справедливости формулы Грина для области
D
общего вида разобьем область D
на конечное число областей
,
рассмотренного выше вида проведением
прямых, параллельных осям OX
и OY.
Границы полученных
таким образом областей
,
состоят из фрагментов кривой C
и из отрезков, параллельных координатным
осям. Заметим, что при последовательном
обходе границ
,
всех
полученных областей
,
так, чтобы область
находилась слева, каждый из отрезков,
параллельных координатным осям,
образовавшихся при разрезании D,
проходится дважды: в ту и в другую
стороны. Значит, при вычислении
криволинейного интеграла
мы
получим взаимное уничтожение интегралов
вдоль прямолинейных отрезков внутри
D.
Следовательно, применяя к каждой из областей , формулу Грина, получим
.