36. Связь пределов последовательностей с арифметическими операциями.

Если x_n,y_n – числовые последовательности, то их суммой, разностью, произведением, частным при y_n 0 называются соответственно последовательности

{(x_n y_n)},{(x_ny_n)},{(x_n/y_n}.

Теорема 8(предел суммы, произведения, частного). Пусть

lim_nx_n = A, lim_ny_n = B,

тогда

1. lim_n(x_n y_n) = A B;

2. lim_nx_ny_n = AB;

3. lim_nx_n/y_n = A/B, при B 0.

Теорема 9. Если

lim_n x_n = A,

lim_n y_n = B,

и A<B, то  N:  n>N x_n<y_n.

Теорема 10 (о трех последовательностях). Пусть последовательности x_n, y_n, z_n удовлетворяют при любом n>N условию: x_n  y_n  z_n, причем

lim_n  x_n = lim_n  z_n = A.

Тогда

lim_n y_n = A.

Доказательство. Согласно определению предела  > 0  N₁:  n>N₁ выполняется A-  < x_n < A+  > 0  N₂:  n > N₂, A- < z_n < A+  Если N = max(N₁,N₂), тогда при n>N получим A-<x_n  y_n  z_n < A+ . Следовательно,

|y_n-A|< .

Следствие 2. Если все члены последовательности принадлежат отрезку [a,b], и  lim_n x_n = c, то c  [a,b].

37. Бесконечно малые, бесконечно большие последовательности.

Определение. Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A можно указать номер N такой, что при   все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству   .

Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Но не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, ... 1, n, ... не является бесконечно большой, так как при A > 1 неравенство   не выполняется для x_n с нечетными номерами.

Определение. Последовательность {x_n} называется бесконечные малой, если для любого положительного числа ε можно указать номер N такой, что при   все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству   .

Любая бесконечно малая последовательность является ограниченной.

1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть α_n и β_n - бесконечно малые последовательности.

 ε > 0 N₁   :   n > N₁   ,   < 

 ε > 0 N₂   :   n > N₂   ,   < 

 α_n + β_n       α_n   +   β_n 

 ε > 0   N = max ( N₁  , N₂   ) :   n > N   α_n + β_n   < ε + ε = 

2. Разница двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Эта теорема доказывается аналогично теореме о сумме двух бесконечно малых последовательностей, только вместо   α_n + β_n       α_n   +   β_n   надо взять   α_n − β_n       α_n   −   β_n  .

3. Бесконечно малая последовательность ограничена.

Доказательство. M = max { ε,   α₁  , ...,   α_{N − 1} }

 n :   α_n     M.

4. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство.

{α_n} бесконечно малая, {x_n} - ограниченная.

 c > 0 :   x_n     c ,   n < N

 ε > 0   N   :   n > N   ,   α_n   < 

 α_n * x_n   =   α_n   *   x_n     

 ε > 0   N   :   n > N 

 α_n * x_n   < ε.

5. Если все элементы бесконечно малой последовательности, начиная с некоторого номера, равны одному и тому же числу, то это число - ноль.

Доказательство.

{α_n} - бесконечно малая последовательность.

При n   N * α_n = c. Предположим, c   0.

Рассмотрим ε =   c   / 2 > 0.   N   :   n > N (ε)   α_n   <   c   / 2.

Положим N₁ = max   , N * ), тогда при n > N ,   c   <   c   / 2 - противоречие, значит, c = 0.

6 (а). Если {x_n} - бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность {1 / x_n} , причём она является бесконечно малой.

6 (б). Если {y_n} - бесконечно малая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность {1 / e_n} , причём она является бесконечно большой.

Доказательство.   M > 0   N (M) :   n > N (M)   x_n   > M.

Из этого видно, что начиная с определённого номера n > 0 , а это значит, что последовательность определена.

{1 / x_n} <   - бесконечно малая.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.