1. Вектора. Основные понятия.

Вектор - это величина которую можно задавать с помощью числа и некоторого направления.

Длина вектора равна

Опр1: Векторы a и b называются равными если совпадают их длины и направления.

Векторы a и b называэтся противоположно направленными если их длины равны, а направления противоположны. А если у них разные длины, то сонаправлены, и противоположны.

Векторы начала которых можно поместить в любые точки пространства называются свободными.

Опр2: Если начало и конец вектора совпадают, такой вектор называется нулевым.

Опр3: Два не нулевых вектора a и b лежащих на одной прямой или параллельных прямых, коллинеарны.

Опр4: Вектор, чья длина вектора a=1, назвается единичным вектором или ортой.

2. Линейные операции над векторами. Свойства этих операций.

Произведение вектора a на λ называется вектор c. Направление совпадает c вектора и a, если λ >0, и ему протовоположно если λ <0.

Сумма векторов a и b расположены так что начала, b и a называется вектор c, у которого начало совпадает с началом a , а конеч с с концом b.

Свойства:

1) a+0=a

2) a+b=b+a

3)(a+b)+c=a+(b+c)

c=a-b=a+(-b)

3. Проекции вектора на ось.

Проекцией вектора лежащей на оси на эту ось, называется число по абсолютной величине равное длине вектора и взятое со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком минус, если они противоположны.

Проекцией вектора не лежащего l не лежащей на этой оси, называется проекции его компоненты по оси l на эту ось.

4. Линейная зависимость и независимость векторов.

Опр1: Пусть имеется n векторов(a1,a2,a3...an) и n постоянных коэффициентов(c1,c2,c3..cn), тогда выражение c1+a1,a2+c2...an+cn называется линейной комбинацией векторов.

Опр2: Векторы a1,a2..an называются линейно зависимыми если существуют числа c1,c2...cn из которых хотя бы один отличен от 0, также что линейная комбинация =0.

Опр3: Векторы a1,a2..an называются линейно зависимыми, еслихотя бы один вектор из этой системы можно выразить в виде линейной комбинации остальных.

ak=c1*a1+c2*a1+..+cn-1*an

Опр4: Векторы a1,a2..an называются линейно независимыми если ни один из этих векторов нельзя представить в виде линейной комбинакции остальных.

Опр5: векторы a1,a2..an называются линейно независимыми если линейная комбинация равна 0, лишь при условии c1=c2=..=cn=0

Опр6: Три ненулевых вектора называются компаланарными если они лежат в одной плоскостиили на паралельных плоскостях.

Опр7: Совокупность любых 2 линейно независимых векторов принадлежащих данной плоскости называется базисом этой плоскости β={e1,e2}, a=x1*e1+x2*e2

Опр8: Совокупность любых 3 линейно независимых векторов в пространстве назывеется базисом в пространстве β={e1,e2,e3}, a=x1*e1+x2*e2+x3*e3

5. Декартов базис. Длина вектора в декартовом базисе.

6. Скалярное произведение. Выражение скалярного произведения через координаты.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

a*b=|a|*|b|*Cos(a^b)

a*a=|a|^(2)

Через координаты a*b=ax*bx+ay*by+az*bz

Cos(a^b)=a*b/(|a|*|b|)