Математический анализ II Курс Лекций
.pdfТ.В.Родина, Е. С.Трифанова
КУРС ЛЕКЦИЙ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ – II
для напр.«Прикладная математика иинформатика»
Учебноепособие
подредакциейпроф.И.Ю. Попова
Санкт-Петербург
2013
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ,
МЕХАНИКИ И ОПТИКИ
Т.В. Родина, Е.С. Трифанова
КУРС ЛЕКЦИЙ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ – II
(для напр. «Прикладная математика и информатика»)
Учебное пособие
Под редакцией проф. И.Ю. Попова
Санкт-Петербург
2013
Т.В. Родина, Е.С. Трифанова Курс лекций по математическому анализу – II (для напр. «Прикладная математика и информатика»). Учебное пособие. – СПб: НИУ ИТМО, 2013. –153 с.
Предлагаемое пособие является продолжением учебного пособия Т.В. Родина, Е.С. Трифанова «Курс лекций по математическому анализу – I» и предназначено для студентов ЕНФ и ФИТИП специальности «Прикладная математика и информатика». В пособии представлен курс лекций по математическому анализу, читаемых для студентов этой специальности во втором семестре. Данное пособие может быть использовано студентами других специальностей, желающими углубить свои знания в области математического анализа.
Авторы выражают глубокую признательность редактору профессору И.Ю. Попову и студенту А.А. Бойцеву за внимательное отношение к работе и ряд ценных замечаний.
Рекомендовано к печати Ученым советом естественнонаучного факультета, 04.04.2013, протокол №3
В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики» на 2009–2018 годы.
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, 2013
Т.В. Родина, Е.С. Трифанова, 2013
Оглавление
5 НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
6 |
||
§1 |
Первообразная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
|
§2 Неопределенный интеграл. Основные свойства и таблица ин- |
|
||
|
тегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
|
§3 Методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
||
|
3.1 |
Замена переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
9 |
|
3.2 |
Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
11 |
§4 |
Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . |
12 |
4.1Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . . . . 12
4.2Интегрирование выражений, содержащих иррациональности 22
4.3 Интегрирование тригонометрических функций . . . . . . . 27
6 ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
29 |
|
§1 |
Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
|
1.1 Интегралыные суммы Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
|
1.2 Геометрическая и физическая интерпретация определенно- |
|
|
го интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
31 |
§2 |
Необходимое условие интегрируемости функции . . . . . . . . |
33 |
§3 Интегральные суммы Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
34 |
|
§4 |
Критерии интегрируемости функции . . . . . . . . . . . . . . . |
36 |
§5 |
Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . |
38 |
§6 |
Свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . |
41 |
|
6.1 Свойства, связанные с действиями над функциями . . . . . |
41 |
|
6.2 Свойства интеграла, связанные с промежутком интегриро- |
|
|
вания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
42 |
6.3Оценки интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.4Первая интегральная теорема о среднем . . . . . . . . . . . 47 §7 Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньюто-
на – Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
49 |
7.1 Определение и свойства интеграла с переменным верхним |
|
пределом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
49 |
3
4 |
Оглавление |
7.2 Вторая интегральная теорема о среднем . . . . . . . . . . . 54 §8 Методы вычисления определенного интеграла . . . . . . . . . . 58 §9 Свойства определенного интеграла от четной, нечетной и пе-
риодической функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 §10 Некоторые формулы, связанные с определенным интегралом . 61
=2 |
=2 |
||
10.1 Вычисление интегралов Z0 |
cosn xdx и |
Z0 |
sinn xdx . . . . . 61 |
10.2 Формула Валлиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 10.3 Интегральная форма остаточного члена формулы Тейлора 63 10.4 Формула Стирлинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7 ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА |
67 |
§1 Понятие об измерении множеств в Rn . . . . . . . . . . . . . . |
67 |
1.1 Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
67 |
1.2Свойства измеримых множеств . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.3Необходимые и достаточные условия измеримости множеств 71 §2 Вычисление площадей плоских фигур . . . . . . . . . . . . . . 73
|
2.1 |
Площадь элементарного множества . . . . . . . . . . . . . |
73 |
|
2.2 |
Площадь криволинейной трапеции . . . . . . . . . . . . . . |
75 |
§3 Кривые в Rn. Длина кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
77 |
||
§4 |
Вычисление объемов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
82 |
|
8 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И |
|
||
ВТОРОГО РОДА |
86 |
||
§1 |
Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
86 |
1.1Несобственный интеграл по бесконечному промежутку . . 86
1.2Несобственный интеграл от неограниченной функции . . . 88
1.3Обобщение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 §2 Признаки сходимости несобственных интегралов . . . . . . . . 90
2.1Критерий Коши сходимости интегралов . . . . . . . . . . . 90
2.2Теоремы сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.3 Исследование интеграла от функции, меняющей знак . . . 96
9 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ |
105 |
§1 Ряды с положительными членами . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 §2 Ряды с произвольными членами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.1 Абсолютная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.2 Признаки сходимости рядов с произвольными членами . . 115
§3 Законы сложения для рядов. Теорема Римана . . . . . . . . . . 120
Оглавление |
|
5 |
|
10 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ |
125 |
||
§1 |
Область сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
125 |
|
§2 |
Равномерная сходимость последовательности функций . . . . . |
127 |
|
|
2.1 |
Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
127 |
|
2.2 |
Свойства равномерно сходящихся последовательностей . . |
129 |
§3 Равномерная сходимость ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
131 |
||
|
3.1 |
Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
131 |
|
3.2 |
Признаки равномерной сходимости функциональных рядов |
133 |
§4 |
Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
137 |
|
§5 Ряды Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
142 |
||
§6 |
Разложение в ряд Маклорена элементарных функций . . . . . |
144 |
|
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ |
151 |
Глава 5
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§1 Первообразная
Определение 5.1.1. Пусть на промежутке (a; b) задана функция f (x). Функцию F (x) будем называть первообразной для функции f (x) на ука-
занном промежутке, если для всех значений x 2 (a; b) выполняется равенство F 0 (x) = f (x).
Замечание 1. Промежуток, на котором определяется первообразная, может быть бесконечным и может быть замкнутым с одной или с обеих сторон. В последнем случае под производной на конце промежутка понимают одностороннюю производную. Можно определить первообразную и на множестве, которое не будет связным.
Пример 1. Функция x3 будет первообразной для функции 3x2 на всей вещественной оси. Но эта первообразная не единственна, функции x3 + 5 или x3 + тоже будут первообразными для функции 3x2.
Множество всех первообразных описывает
Теорема 5.1.1. Пусть функция F (x) является первообразной для функции f (x) на промежутке (a; b). Тогда, для того чтобы функция (x) также была первообразной для функции f (x) на том же промежутке, необходимо и достаточно, чтобы для любого x 2 (a; b) разность (x) F (x) была постоянной.
I Необходимость. Пусть функция (x) является первообразной для функ-
ции f (x) на промежутке (a; b). Тогда на этом промежутке имеют место равенства F 0 (x) = f (x) и 0 (x) = f (x), следовательно,
( (x) F (x))0 = 0 (x) F 0 (x) = 0:
Используя признак постоянства функции, получим (x) F (x) = const.
Достаточность. Пусть на промежутке (a; b) выполнено (x) F (x) = C. Тогда на этом промежутке (x) = F (x) + C, откуда 0 (x) = (F (x) + C)0 =
6
§2. Неопределенный интеграл. Основные свойства и таблица интегралов |
7 |
= f (x), что означает, что (x) является первообразной для функции f (x) на данном промежутке. J
Замечание 2. Первообразная для функции, заданной на несвязном множестве (например, состоящем из нескольких промежутков), может быть образована из одной, простейшей первообразной с помощью добавления различных констант.
1
Пример 2. Первообразной для функции f (x) = x2 , x =6 0 будет функ-
ция F1 (x) = x1, но в качестве первообразной можно взять, например, такую функцию
F2 (x) = |
81 + x; x < 0; |
|||||||
|
|
>1 |
1 |
|
|
|
||
|
|
+ 3; |
x > 0: |
|||||
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
x |
|
|
|
|
|
Теорема 5.1.2 (Линейность |
первообразной). |
Если F (x) — первообразная |
||||||
|
: |
|
|
|
|
|
для функции f (x) на промежутке (a; b), а функция G (x) — первообразная для функции g (x) на том же промежутке, то на этом промежутке функция F (x)+ G (x) будет первообразной для функции f (x)+ g (x).
I
0 0 0
( F (x) + G (x)) = (F (x)) + (G (x)) = f (x) + g (x) :
J
§2 Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла и таблица простейших интегралов
Определение 5.2.1. Неопределенным интегралом от функции f (x) на промежутке (a; b) называется множество всех первообразных этой функции на этом промежутке.
Z
Неопределенный интеграл обозначают следующим образом: f (x) dx,
где функцию f(x) называют подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx — подынтегральным выражением.
Если F (x) — какая-нибудь первообразная функции f (x) на промежутке (a; b), то имеет место равенство
Z
f (x) dx = F (x) + C;
8 |
|
|
Глава 5. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
где C — произвольная постоянная. |
|||
Z |
Итак, из определения неопределенного интеграла следует, что равенство |
||
f (x) dx = F (x) + C выполнено тогда и только тогда, когда выполнено |
|||
одно из условий: |
|
||
|
1) Z |
f (x) dx 0 |
= f (x); |
|
2) d Z |
f (x) dx = f (x) dx. |
Из определения интеграла также следует, что Z |
dF (x) = F (x) + C. |
|||
Теорема 5.2.1. Интеграл обладает свойством линейности, т.е. |
||||
Z |
( f (x) + g (x)) dx = Z |
f (x) dx + Z |
g (x) dx: |
Доказательство очевидно следует из аналогичного свойства первообразной.
Для вычисления неопределенных интегралов используют таблицу интегралов, которая в основном является обращением таблицы производных.
Таблица интегралов
1. |
Z |
x dx = + 1 + C, 6= 1; |
8. |
Z |
sh xdx = ch x + C; |
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
Z |
dx |
||||
2. |
|
|
= ln jxj + C; |
|||
|
x |
|||||
|
Z |
axdx = |
ax |
|||
3. |
|
+ C, |
||||
ln a |
||||||
|
Z |
exdx = ex + C ; |
Z
4.cos xdx = sin x + C;
Z
5.sin xdx = cos x + C;
Zdx
6.cos2 x = tg x + C;
Zdx
7.sin2 x = ctg x + C;
Z
9.ch xdx = sh x + C ;
Zdx
10.ch2 x = th x + C ;
Zdx
11.sh2 x = cth x + C ;
12. |
Z |
p |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
= arcsin |
|
|
|
+ C = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
a |
||||||||||||||||
a2 |
x2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ C; |
|
|
|
|||||||
|
= arccos |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|||||||||||||||||
13. |
Z |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
= |
|
|
|
arctg |
|
|
+ C = |
|||||||||||
x2 + a2 |
a |
a |
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ C ; |
|
|
|
|||||||
|
= |
|
arcctg |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
a |
a |
|
|
|
||||||||||||||||
14. |
Z |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
px2 + a = ln x + px2 + a + C; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3. Методы интегрирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|||||||||||||
15. |
Z |
x2 |
a2 |
= |
|
2a |
ln |
x + a |
+ C; |
17. |
cos x |
|
2 |
4 |
|
+ C. |
||||||||
dx |
|
|
|
1 |
|
|
x a |
|
dx |
= ln tg |
x |
+ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16. |
Z |
dx |
= ln tg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sin x |
2 |
|
+ C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство последних формул проводится с помощью дифференцирования. Докажем, например, формулу 14:
I Используя тот факт, что (ln jxj)0 = x1, (x 6= 0), получим
ln x + px2 |
+ a |
|
0 |
= x + p1x2 + a 1 + px2x+ a = |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x2 + a + x |
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
x + p |
|
|
|
p |
|
|
= |
p |
|
: |
|||
|
|
|
|
|
|
|
x2 + a |
x2 + a |
x2 + a |
J
§3 Методы интегрирования
3.1 Замена переменной
Пусть ' (t) — дифференцируемая функция, отображающая промежуток ( ; ) на промежуток (a; b). Тогда справедлива формула
ZZ
f (x) dx = f (' (t)) '0 (t) dt;
где x = ' (t). Эту формулу будем называть формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
I Для доказательства справедливости данного равенства достаточно доказать, что равны дифференциалы от каждой части этого равенства. Действительно,
Z
df (' (t)) '0 (t) dt = f (' (t)) '0 (t) dt = f (' (t)) d' (t) = f (x) dx
Z
и d f (x) dx = f (x) dx. J
Замечание 1. При решении задач на вычисление неопределенного интеграла будем считать, что ответ требуется получить только на какомлибо промежутке, где подынтегральная функция непрерывна.
Пример 1. Вычислить интеграл Z |
|
|
dx |
|
p |
|
(x + 1) |
. |
|
x |