- •4 Сравнение бесконечно малых функций
- •6.Непрерывность функции в точке
- •13.Основные теоремы дифференциального исчисления. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.
- •15. Достаточные условия экстремума функции одной переменной. Экстремум функции – это ее локальный максимум или минимум.
- •16.Необходимое условие экстремума функции одной переменной.
- •17. Нахождение асимптот графика функции одной переменной.
17. Нахождение асимптот графика функции одной переменной.
Определение 11 (вертикальная асимптота). Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов
limx® a+0f(x) или limx® a-0f(x)
равен +Ґ или -Ґ.
Пример 14. График функции y = 1/(x-2) имеет вертикальную асимптоту x = 2, так как limx® 2+01/(x-2) = +Ґ, limx® 2-01/(x-2) = -Ґ (рис.28).
Определение 12 (наклонная асимптота). Говорят, что прямая y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x® +Ґ, если f(x) имеет вид
f(x) = kx+b+a (x),
где limx® +Ґa (x) = 0.
Справедлива
Теорема 13 (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела
limx® +Ґf(x)/x = k, limx® +Ґ(f(x)-kx) = b.
Доказательство.
Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид
f(x) = kx+b+a(x),
тогда
limx® +Ґf(x)/x = (kx+b+a(x))/x = k,
limx® +Ґ(f(x)-kx) = limx® +Ґ(b+a(x)) = b.
Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x® +Ґ. Обозначив f(x)-kx-b = a(x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.
Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 13 при x® -Ґ.
Замечание. Если k=0 в определении наклонной асимптоты, то наклонная асимптота является горизонтальной.