1.Обратная матрица. Обратная матрица к исходной матрице А называется матрица А-1, удовлетворяющая условию A*A- 1=A- 1A=E.

ТЕОРЕМА о существовании обратной матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно (<=>), чтобы матрица А была невыражденной — detA<>0; 1. необходимые условия. Дано: А, А-1; Док-ть: detA¹0; Док-во: Предположим detA=0; AA-1=E; |AA- 1| = |A| |A-1| = |E| = 1; |AA- 1| =0; Противоречие, значит |A|¹0; 2. достаточные условия: Дано A, detA¹0; Док-ть: A-1-?; Док-во: AA-1=E -?; A(a11, a12…a32, A33); Заменим каждый элемент алгебраическим дополнением. В = (A11, A12…A32, A33)*1/|A|; Транспонируем и разделим все элементы на Δ: BT= (A11/Δ, A21/Δ…A23/Δ, A33/Δ); BT=A-1-?; BTA=E -? (a11 a12…a32 a33)*(A11A12…A32 A33)=(a11A11+a12A12+a13A13/Δ)=(1 0..0 1)=E; a21A11+a22A12+a23A13 = 0; a11A11+a12A12+a13A13=Δ;

2.Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность ст

Векторным произведением вектора a на вектор b в пространстве R^3 называется вектор C , удовлетворяющий следующим требованиям:c=a*b*sinFi

длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла ; между ними.

вектор C ортогонален каждому из векторов A и B

вектор C направлен так, что тройка векторов ABC является правой.

в случае пространства R^7 требуется ассоциативность тройки векторов a,b,c.

Обозначение (a*B)= (a,b)=a*b

Выражение векторного произведения через координаты векторов

Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис I,j,k. Векторные произведения базисных векторов находятся по определению:

Формулы (1.14) можно получить, используя диаграмму (рис. 1.45): если на этой схеме кратчайший поворот от первого множителя ко второму совершается в положительном направлении (указанном стрелкой), то произведение равно третьему вектору, а если — в отрицательном направлении, то произведение равно третьему вектору, взятому со знаком минус (противоположному вектору).

Найдем выражение векторного произведения через координаты множителей. Пусть в стандартном базисе I,j,k векторы a и b имеют координаты и соответственно. Тогда, используя линейность векторного произведения по любому множителю (см. пункт 2 замечаний 1.12) и формулы (1.14), получаем

Запишем это равенство при помощи определителей второго порядка:

Правую часть (1.15) можно представить как результат разложения символического определителя третьего порядка по первой строке

Теорема 1.8 (формула вычисления векторного произведения). Если векторы a и b в правом ортонормированием базисе I,j,k имеют координаты и соответственно, то векторное произведение этих векторов находится по формуле, которую принято записывать в виде

Если и — координатные столбцы векторов a и b в стандартном базисе, то координатный столбец векторного произведения находится по формуле

В самом деле, выполняя умножение матрицы на столбец, получаем

Тогда , что совпадает с (1.15).

3. Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов A11,А12,А22 отличен от нуля.

Гипербола — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянно.

Декартовы координаты

Гипербола задаётся уравнением второй степени в декартовых координатах (x, y) на плоскости:

где коэффициенты Axx, Axy, Ayy, Bx, By, и C удовлетворяют следующему соотношению

и

Эллипс— геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть| F1M | + | F2M | = 2a, причем | F1F2 | < 2a.

Эллипс является центральной невырожденной кривой второго порядка и удовлетворяет общему уравнению вида

при инвариантах и где:

Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса:

4 Сравнение бесконечно малых функций

Пусть при x→a функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями.

1. Если , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка, чем g(x) (относительно g(x)).

2. Если , то функции f(x) и g(x) называются бесконечно малыми одногопорядка.

3. Если , то f(x) называется бесконечно малой k-го порядка относительноg(x).

Если , то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. В этом случае обе функции стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью. Эквивалентные бесконечно малые будем обозначать f ≈ g.

5. Таблица эквивалентно малых функций, с доказательством каждой из них. Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу , для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знак вместо . !1) . Эту формулу мы уже доказали и использовали в примерах. Эквивалентность sinx и x при означает в точности, что первый замечательный предел равен 1.

!2) . Эта эквивалентность тоже была доказана выше в одном из примеров.

3) . Докажем эту эквивалентность:

!4) . Докажите это в качестве упражнения, сделав замену и применив предыдущую табличную формулу.

!5 ) . Для доказательства воспользуемся формулой . Далее, имеем:

Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.

6) . Для доказательства этой эквивалентности сделаем такое преобразование:

Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:

и мы доказали формулу 6.

В частном случае, при a=e , получаем эквивалентность

6)

7) ( ). Для доказательства сделаем замену и выразим x через z : .Согласно формуле 6, при , откуда . Из непрерывности логарифма следует, что и, значит, при . В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменного z на x , чтобы получить формулу 7.

В частном случае, при a=e , получаем эквивалентность

!7)

Сведём теперь полученные формулы в итоговую таблицу. Всюду в ней . 1) .

sin α(x) ~ α(x) 1 − cos α(x) ~ α(x)2/2

tg α(x) ~ α(x) arcsin α(x) ~ α(x)

arctg α(x) ~ α(x) eA(X) − 1 ~ α(x)

a A(X) − 1 ~ α(x) · ln a ln[1 + α(x)] ~ α(x)

LOG a[1 + α(x)] ~ α(x)/ln a

[1 + α(x)]M − 1 ~ mα(x

6.Непрерывность функции в точке

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x0) точки x0 (включая саму точку x0). Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если существует limx → x0 f(x) , равный значению функции f(x) в этой точке:

lim x → x0 f(x) = f(x0), Классификация точек разрыва функции Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ; Эти односторонние пределы конечны. При этом возможно следующие два случая: Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу: Такая точка называется точкой устранимого разрыва. Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу: Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции. Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. Непрерывна при x = a. Имеет разрыв при x = a. Непрерывна при x = a. Имеет разрыв при x = a.

7.Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует.

2) Геометрический смысл производной: производная в т.х0 равна угловому коэф-ту касательной к графику ф-и y=f(x) в этой точке f'(x0)=k. 3) Механический смысл производной: производная от координаты по времени есть скорость v(t)=x'(t). 9 Логарифмическая производная – производная от натурального логарифма модуля (абсолютной величины) – данной функции:

Используя формулу производной сложной функции, найдем, что  (*)Логарифмическую производную используют, например, при дифференцировании (нахождении производной или дифференциала) степенно-показательной функции

10.Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций (с выводом). Пусть - дифференцируемая функция от аргумента x в некотором интервале . Если в уравнении y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция , где - функция обратная данной.

 

 

11. Формула Тейлора Пусть функция f(x) имеет n + 1 производную в некоторой окрестности точки a,

Пусть

Пусть p — произвольное положительное число,

тогда: точка при x < a или при x > a: