- •4 Сравнение бесконечно малых функций
- •6.Непрерывность функции в точке
- •13.Основные теоремы дифференциального исчисления. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.
- •15. Достаточные условия экстремума функции одной переменной. Экстремум функции – это ее локальный максимум или минимум.
- •16.Необходимое условие экстремума функции одной переменной.
- •17. Нахождение асимптот графика функции одной переменной.
13.Основные теоремы дифференциального исчисления. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.
Теорема Ролля
Пусть функция . Тогда ■
□ Из условия следует по свойству 10 непрерывных на функций, что .
Существует две возможности:
1) ;
2) в силу .
Пусть , тогда согласно теореме Ферма .
Данная теорема обладает таким же геометрическим истолкованием, что и теорема Ферма.
Теорема Лагранжа
Пусть функция . Тогда ■
□ Введём на вспомогательную функцию , для которой верны условия теоремы Ролля: или .
Следовательно .
Солгасно т. Ролля :
◙
Геометрическое истолкование теоремы Лагранжа. Строим график функции (рис. 10.2), . Угловой коэффициент касательной в т. . Следовательно, на графике функции .
Теорема Коши
Пусть функции . Тогда ■
В формуле . В противном случае согласно теореме Ролля .
□ Введём . Подберём такое , чтобы
Тогда . По теореме Ролля .
Теорема Коши является обобщением теоремы Лагранжа, где .
14. Правило Лопиталя. Правило Бернулли-Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Условия:
или ;
и дифференцируемы в проколотой окрестности ;
в проколотой окрестности ;
существует ,
тогда существует .
Пределы также могут быть односторонними.
15. Достаточные условия экстремума функции одной переменной. Экстремум функции – это ее локальный максимум или минимум.
1. Случай функции одной переменной. Заметим, что максимум или минимум дифференцируемой функции может находиться лишь в ее критической точке (необходимое условие экстремума).
Пусть х0 – критическая (стационарная) точка функции y = f(x) (т.е. внутренняя точка области ее определения, в которой производная равна нулю). Тогда можно сформулировать следующие достаточные условия существования экстремума в этой точке:
а) Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности U точки х0, не содержащей других критических точек. Тогда:
если при переходе через точку х0 производная f ' меняет свой знак с плюса на минус, х0 – точка (локального) максимума функции;
если при переходе через точку х0 производная меняет свой знак с минуса на плюс, х0 – точка (локального) минимума функции;
если при переходе через точку х0 производная не меняет свой знак, в точке х0 нет экстремума.
б) Пусть в точке х0 существует вторая производная функции f, f ''(x0), не равная нулю. Тогда:
если f’’(x0) > 0, х0 – точка (локального) минимума функции;
если f’’(x0) < 0, х0 – точка (локального) максимума функции.
16.Необходимое условие экстремума функции одной переменной.
Определение 1. Точка называется точкой локального максимума (минимума), а значение функции в ней – локальным максимумом (локальным минимумом) функции , если существует -окрестность точки такая, что в любой точке имеем (соответственно, ).
Определение 2. Точка называется точкой строгого локального максимума (минимума), а значение функции в ней – строгим локальным максимумом (локальным минимумом) функции , если существует -окрестность точки такая, что в любой точке имеем (соответственно, ).
Определение 3. Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.
Теорема 1. (необходимое условие локального экстремума функции). Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то .
Доказательство. По условию теоремы существует конечная производная . Так как функция имеет в точке локальный экстремум, то она не может в этой точке ни возрастать, ни убывать. Значит, производная не может быть ни положительной, ни отрицательной. Тем самым доказано, что . ■
Теорема 1 имеет очень простой геометрический смысл: она утверждает, что если в той точке кривой , в которой достигается локальный экстремум, существует касательная к этой кривой, то эта касательная обязательно параллельна оси Ох
Определение 4. Точки, которых производная функции обращается в нуль, называются стационарными точками функции и и ).
Определение 5. Точки, которых производная функции не существует, но в них определена, называются критическими точками функции