6.1 Примеры задач приводящих к необходимости решения дифференциальных уравнений.

Задача об определении изменения угла колебаний маятника.

l

Получить зависимость

F_ин =ma

Спроектируем силы на касательной к траектории движекния

mg

m

(1)

Если малые колебания | | << 1, то

(2)

1 и 2 – Обыкновенные дифферинциальные уравнения 2-го порядка.

Рассмотрим задачу об определении вида изогнутой оси балки

I(x)

Вид сверху

q(x)- распределенная нагрузка

Вид сбоку

y(x)

Пусть балка из материала с модулем Юнга E. Q(x) - непрерывная сила. М(x) – изгибающий момент.

y=y(x);

I(x) = I – const;

- обыкновенное дифферинциальное уравнение 4-го порядка

6.2 Понятие о конкурирующих стратегиях. Пример алгоритма для выбора рациональной стратегии.

Рассмотрим след. ситуацию.

В начале дня на маршрут выходит автобус, он полностью исправен, при выполнении рейса может возникнуть незначительная поломка при этом эту поломку можно устранить но для этого придется пропустить рейс а можно отпустить автобус в рейс с незначительной поломкой но приэтом может возникнуть критическая поломка когда автобус не сможет выполнять рейсы до конца дня. Пусть вероятность маленькой поломки «a», а критической «b».

Предположим в день запланировано n рейсов и всего должно быть m дней. Возникает вопрос какая из стратегий эксплуатации автобуса окажется лучшей, в том смысле что средн кол-во рейсов в день будет больше.

Эти стратегии называются конкурирующими. Очевидно что подобную задачу можно сформулировать и для др. объектов, напр, для металлообр станка. Впервые такая задача была сформулирована Крайзоном и Марзаном. С помощью сложных математических выкладок им удалось получить аналогичн решение этой задачи. Однако при небольшом усложнении условий или др формулир стратегий получать аналогичные решения практически не удается. В тоже время козе понятно что можно легко сформулир алгоритм и составить соотв прогр для моделирования этих стратегий на компьютере.

– среднее число рейсов в день при первой стратегии

N – число запланированных рейсов

a – вер-ть незначительной поломки

– среднее число рейсов при 2-й стратегии

N –число запланированных рейсов

a – вероятность незначительной поломки

b – вероятность критической поломки

7.1 Сведение произвольной системы оду произвольного порядка к системе оду 1-го порядка.

Большинство численных решений ОДУ разработаны для следующей задачи:

(1) (2) где 1 –ОДУ 1-го порядка при этом как видно оно разрешено относительно производной, а 2 –начальное условие т.е. значение неизвестной функции в первой точке интервала, на котором нужно построить решение.

X_кон

x₀

y₀

X₀ – левая граница интервала наблюдения; X_кон – правая граница интервала наблюдения; Задача 1-2 называется канонической формой задачи Коши. Она заключается в том ,чтобы построить функцию y=y(x) удовлетворяющую условиям 1-2.

Предположим, что у нас метод и его программная реализация позволяют решить задачу 1,2 тогда если имеем задачу другого вида:

То в программном обеспечении можно создать цикл решения таких уравнений и задача 3 сведется к 1-2;