18.2 Использование встроенных функций для линейной аппроксимации по методу наименьших квадратов

V_x и V_y – заранее сформированные массивы абсцисс и ординат .

m:=slope(vx,vy)

b:=interapt(vx,vy)

x - Массив точек в который мы хотим вычленить mx+b

19.1 Связь модифицированных методов Эйлера и методов Рунге-Кута второго порядка для решения задачи Коши

Методы второго порядка.q=1,∆y≈Ao*ϕо +Aо*ϕ1,в этой ситуации у нас есть параметры α1,β10,Ао,А1. Можно показать, что эти четыре величины оказываются связанными между собой следующей системой нелинейных уравнений :

как видно количество уравнений меньше числа неизвестных ,это позволяет положить один из параметров равным какому-то значению, а остальные три определить через него

α₁= β₁₀=1/2А₁,

A_о=1- A₁,

А₁=1/2,

А_о=1/2,

α₁= β₁₀=1,

∆y≈A_o*ϕ_о +A₁*ϕ₁,

ϕ_о=h*f(x,y),

ϕ₁=h*f(x+h,y+ ϕ_о),

Пусть A₁=1,A₀=0, α₁= β₁₀=1/2, тогда

∆y≈ ϕ1,

ϕ_о=h*f(x,y),

ϕ₁=h*f(x+h,y+ ϕ_о) это другая модификация метода Эйлера.

Могут быть получены и др. формулы метода второго порядка, и как видно модификации метода Эйлера-частные случаи метода Рунге-Кутта. Приведем систему уравнений для методов 3-го порядка.

q=2

A₁+A₂+A₀=1,

A₁* α₁+A₂* α₂=1,

A₁* α₁+A₂* α₂=1/3,

A₂* α₁* β₂₁=1/6,

β₂₀+ β₂₁= α₂,

β₁₀= α₁,

∆y≈1/6(ϕ_о+ 4* ϕ₁+ ϕ₂),где ϕ_о=h*f(x,y),

ϕ₁=h*f(x+h/2,y+ ϕ_о/2),

ϕ2=h*f(x+h,y- ϕ_о + 2ϕ₁),

∆y≈ ( ϕ₀+3 ϕ₂),

ϕ_о=h*f(x,y),

ϕ₁=h*f(x+h/3,y+ ϕ_о/3),

ϕ₂=h*f(x+2/3*h,y- ϕо + 2/3*ϕ1)

19.2 Понятие о сплайнах

Функция S_n,ν (x) – сплайн степени n дефекта ν, где n и ν - целые числа, если

1. на каждом из отрезков (x_i, x_i+1) из (a,b) функция S_n,ν (x) является полиномом степени n;

2. если S_n,ν (x) на всем интервале (a,b) имеет непрерывные производные до порядка

n- ν включительно.

Кусочные полиномы, образующие сплайн, называются звеньями, а условия непрерывности в узлах­­­____

Рассмотрим сплайн 1-ой степени S₁(x). Он представляет собой непрерывную кусочно-линейную функцию. На каждом из отрезков (x_i, x_i+1) он является полиномом 1-ой степени:

S₁ (x) = A₀+A₁∙x

ν=1, т.е. непрерывной производной он не имеет.

Уравнение сплайна:

S₁(x) = + ( ), x_{i i+1}

h_i =x_i+1 – x_i - шаг

Для построения этого сплайна требуется только таблица (x_i ,y_i). Вычисление этого сплайна можно выполнять по следующему алгоритму:

1. определение tg угла наклона:

tgα_i = =

и вычисляется S₁ (x)= +U_i ∙ (x – x_i ).

(x_i+1,y_i+1)

U_i(x-x_i)

(x_i,y_i) α

S₁(x)

y_i

x_i x x_i+1

Сплайн 1-ой степени относится к семейству локальных сплайнов, т.к. для его построения необходима информация только об ограничивающих данный участок узлах.

20.1 Метод Рунге-Кута 4-ого порядка для решения задачи Коши формулы метода и их реализация в среде MathCad

;

___________________________________________________________________________