25.2 Использование параметрических сплайнов для интерполирования кривых

Отличие заключается в том,что для кривой возможна ситуация,когда одному знаению независ. Переменной соответствует несколько ординат точек.В том аппарате построения сплайнов который мы обсуждаем до настоящего времени было введено предположение

Когда по произвольной сис-ме точек р1,р2,р3…рn необходимо построить кривую проходящую через эту сис-му,то использовать этот аппарат невозможно,в этом случ. Можно использовать так называемые параметрические сплайны на основе обычных сплайнов можно ввести так назыв. Естественную параметризацию выбрав в качестве незав.переменгой параметр S ,который будет представлять длину дуги кривой от начальной точки до текущей тогда x=x(S); y=y(S)

В качестве простейшего примера рассмотрим интерполяцию параметрического сплайна 1 степени.

S₁(x,S)=(1-t)*x_i+t*x_i+1

S₁(y,S)=(1-t)*y_i+t*y_i+1

Эта пара сплайнов наз-ется параметрическими сплайнами

можно заметить ,что линейные функ-ии F1(t) и F2(t) являются аналогами тех ф-ий формы F1(t), F2(t), F3(t), F4(t) ,которые использовались в эрмитовом кубическом сплайне,там они были кубическими полиномами точно такие же ормулы получаются и по переменной.Отметим некоторые св-ва этого параметрического сплайна .Координаты точек такого сплайна и угол наклона касат. к нему можно вычисл. Не имея практически никакоц информации о длине дуги интерполируемой кривой.

26.1 Пример реализации метода типа Монте-Карло в среде Mathcad для вычисления площади произвольной фигуры

Фрагмент документа маткад:

ORIGIN:=1,

AB(x,y):=x,

Cd(x,y):=y

x:=0,y:=0 – начальные значения переменных

f(x,y):=x-y +4

g(x,y):=x + y +x+y-25

Given

f(x,y)>=0,

g(x,y)<=0,

z:=Minimize(AB,x,y) min по корд. х

a:=AВ(z1,z2)

a=-4

Given

f(x,y)>=0,

g(x,y)<=0,

z:=Maximize(AB,x,y) max по корд. х

b:=AВ(z1,z2)

b=4.55

Given

f(x,y)>=0,

g(x,y)<=0,

z:=Minimize(Cd,x,y) min по корд. y

c:=Cd(z1,z2)

c=-2.825

Given

f(x,y)>=0,

g(x,y)<=0,

z:=Maximize(Cd,x,y) max по корд. y

d:=Cd(z1,z2)

d=2.719

Задаем число экспериментов:

N:=4000

-описание процедуры,которая возвращает к-во точек из N сгенерированных и их координаты -описание процедуры,которая возвращает к-во точек из N сгенерированных и их координаты попавшие в нашу нужную область.

Изобразим обращение к этой процедуре:

Площадь фигуры

26.2 Параметрический Эрмитов кубический сплайн.

Этот сплайн представляет собой совокупность двух Эрмитовых сплайнов.

(7)

- производная по S от x(S) в точке S_i.

Для возможности вычисления по формуле (7) необходимо определить .

Поскольку в реальных задачах информация о наклонах обычно отсутствует, то, как и в случае обычного Эрмитова сплайна , заменим их приближенными значениями.

Поскольку точное значение параметра вычислить невозможно, то будем строить Эрмитов сплайн близкий к сплайну 7 в некотором смысле.

Во-первых, для описания сплайна введем параметризацию по суммарной длине хорд.

где

Во-вторых, точные значения производных заменим по приближенным разностным формам.

(8)

(9)

(10)

где

Эти формулы используются в том случае, если кривая не замкнута. Если кривая замкнута, то вместо формул 8 и 10 используем:

(11)

Рекомендации по выбору узлов:

1. Следует выбирать узлы так, чтобы (то есть, чтобы длины звеньев были практически одинаковы);

2. В точках излома кривой следует вводить по два близких узла. В этом случае будет снижена асцилляция кривой, заключающаяся в том, что сплайн сильно уклониться от истинной кривой.