- •17.Понятие функции.
- •18. Свойства функций (четность, нечетность, периодичность, монотонность, выпуклость, вогнутость, экстремумы). Элементарные функции.
- •19. Понятие числовой последовательности. Определение. Предел последовательности. Единственность предела числовой последовательности (доказательство).
- •20. Арифметические операции над последовательностями, имеющими пределы (доказательство).
- •21. Понятия бесконечно большой, бесконечно малой и ограниченной последовательностей. Свойства. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей.
- •4)Теорема:
- •22. Монотонные последовательности. Достаточные условия существования предела.
- •23. Предельный переход в равенствах и неравенствах. Теорема о пределе сжатой последовательности (доказательство).
23. Предельный переход в равенствах и неравенствах. Теорема о пределе сжатой последовательности (доказательство).
Соединяя две переменные и знаками равенства или неравенства, мы всегда подразумеваем, что речь идет о соответствуших значениях их, т. е. о значениях с одним и тем же номером.
1) Если две переменные , при всех их изменениях равны: причем каждая из них имеет конечный пpeдел: то равны и эти пределы: .
Непосредственно следует из единственности предела
Этой теоремой пользуются обычно в форме предельного перехода в равентве: из заключают, что
2) Если для двух переменных всегда выполняется неравенство причем каждая из них имеет конечный предел: то и .
Допустим противное: пусть . Рассуждая так же как и в пункте 36, 4), возьмем число r между а и b, так что . Тогда, с одной стороны, найдется такой номер N’, что для будет с друrой же найдется и такой номер N’’, что для окажется . Если N больше обоих чисел N’, N’’, то для номеров будут одновременно выполняться оба неравенства
что противоречит предположению. Теорема доказана.
3) Вышеназванная теорема устанавливает допустимость предельного перехода в неравенстве (соединенном с равенством): из можно заключить, что .
Мы обращаем внимание на то, что из строгого неравенства вообще говоря, не вытекает строгое же неравенство, а только, по-прежнему: .
Так, например при всех n, и тем не менее
Из теоремы 2), как частный случай, может быть получено утверждение 3)
При установлении существования и величины предела часто бывает полезна теорема:
Теорема о пределе сжатой последовательности
Если для nеременных всегда выполняются неравенства
причем переменные стремятся к общему пределу a:
тo и nеременная имеет тот же предел:
Доказательство: Зададимся произвольным . По этому ε прежде всего, найдется такой номер ’, что при
Затем найдется такой номер, , что при
Пусть будет больше обоих чисел ; тогда, при , выполняются оба предшествующих двойных неравенства, и потому
Окончательно при
Таким образом, действительно, .
Из этой теоремы в частности следует: если ,при всех n
и известно, что , то и . Впрочем, это очень легко доказать и непосредственно.