- •17.Понятие функции.
- •18. Свойства функций (четность, нечетность, периодичность, монотонность, выпуклость, вогнутость, экстремумы). Элементарные функции.
- •19. Понятие числовой последовательности. Определение. Предел последовательности. Единственность предела числовой последовательности (доказательство).
- •20. Арифметические операции над последовательностями, имеющими пределы (доказательство).
- •21. Понятия бесконечно большой, бесконечно малой и ограниченной последовательностей. Свойства. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей.
- •4)Теорема:
- •22. Монотонные последовательности. Достаточные условия существования предела.
- •23. Предельный переход в равенствах и неравенствах. Теорема о пределе сжатой последовательности (доказательство).
21. Понятия бесконечно большой, бесконечно малой и ограниченной последовательностей. Свойства. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей.
{xn}- называется бесконечно большой, если для любого М>0, существует такой номер N, что для всех n с номерами n>N, выполняется условие, что |xn|>M. (M>0NM:n>N=>|Xn|>M)
{xn}- называется бесконечно малой, если для любого М>0, существует такой номер N, что для всех n с номерами n>N, выполняется условие, что |xn|<M.
Последовательность {Xn} называется ограниченной, если существует такое c>0, что для всех членов последовательности выполняется: c>0:n>N=>|Xn|>c
Основные свойства бесконечно малых и больших последовательностей.
1)Теорема: сумма и разность б.м.п. есть б.м.п.
Док-во: n – б.м., n-б.м. /2>0N1:n>N1=>|n|</2, /2>0N2:n>N2=>|n|</2. N=max{N1,N2}, тогда n>N будут одновременно выполнятся |n|</2 и |n|</2 => n>N |n+-n| |n|+|n| < /2+/2=, n>N |n+-n| < - бесконечно малая.
Следствие: алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть б.м.п.
2)Теорема: Произведение двух б.м.п. есть б.м.п.
Док-во: n – б.м., n-б.м. Так как n – б.м., то >0N1:n>N1=>|n|<, =1N2:n>N2=>|n|<1. N=max{N1,N2}, тогда n>N существует |n|< и |n|<1 => |n|*|n|<*1=, |n*n|-бесконечно малая.
Следствие: произведение любого конечного числа б.м.п. есть б.м.п.
Замечание: частное 2-х б.м.п. может не быть б.м.п.
3)Теорема: произведение ограниченной последовательности на б.м. есть б.м.п.
Док-во: Пусть Xn-ограниченная, n – б.м. Так как Xn-ограниченная, то c>0:n>N=>|Xn|>c, так как n – б.м., то /с>0N:n>N=>|n|</с. Тогда |Xn*n| = |Xn|*|n| < c*/c=, |Xn*n|<c-б.м.п.
4)Теорема:
Замечание:
5)Теорема: если последовательность {xn}-бесконечно большая и все её члены отличны от нуля, то последовательность -бесконечно малая и обратно, если {n}-бесконечно малая, и члены отличны от нуля, то -бесконечно большая последовательность.
Доказательство: Пусть {xn}-бесконечно большая. M>0NM:n>N=>|Xn|>M. Пусть , n>N – бесконечно малая и обратно.
22. Монотонные последовательности. Достаточные условия существования предела.
Монотонная последовательность - последовательность {xn}, n ϵ N, удовлетворяющая одному из следующих условий:
для любого номера n = 1,2,… выполняется неравенство (неубывающая последовательность),
для любого номера n = 1,2,… выполняется неравенство (невозрастающая последовательность).
Среди монотонных последовательностей выделяются строго монотонные последовательности, удовлетворяющие одному из следующих условий:
для любого номера n = 1,2,… выполняется неравенство (возрастающая последовательность);
для любого номера n = 1,2,… выполняется неравенство (убывающая последовательность).
Теорема о достаточном условии существования предела числовой последовательности(теорема Вейерштрасса).
Неубывающая последовательность сходится (имеет предел), когда она ограничена сверху.
Доказательство: Необходимость. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Достаточность. Пусть xn — ограниченная сверху последовательность. Существует S = sup xn, то есть " e > 0 $ xN: xN > S - e. Так как последовательность неубывающая, то
" n > N Ю xn і xN Ю S - e < xN Ј xn Ј S < S + e. Следовательно, |xn - S| < e.