19. Понятие числовой последовательности. Определение. Предел последовательности. Единственность предела числовой последовательности (доказательство).

 Функция f:N X, областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Если f:N R, то последовательность называется числовой. Иначе, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: x_n = f(n). Обозначают числовую последовательность {x_n}.

Предел последовательности

 Число A называется пределом последовательности x_n, если

 U(A)  N:  n > N x_n  U(A).

Приведем другое определение предела, которое является эквивалентным первому.

Определение предела последовательности

 Число A называется пределом x_n, если

 > 0  N:  n > N |x_n-A |< 

Заметим, что здесь использованы логические символы: квантор всеобщности (вместо слова "для любого") и квантор существования  (вместо слова "найдется").

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае расходящейся.

Теорема: Если последовательность сходится, то предел единственен.

Доказательство: Пусть lim_nx_n = A₁ и lim_nx_n = A₂, A₁ A₂, тогда выберем  - окрестности точек A₁, A₂, так чтобы они не пересекались. В качестве  можно взять число  = 1/2|A₁-A₂|. По определению предела  N₁,N₂, что при n>N₁ x_nU(A₁), а при n>N₂ x_n U(A₂). Следовательно, при n> max{N₁,N₂} x_n U(A₁)U(A₂), что невозможно, так как U(A₁) U(A₂) = .

20. Арифметические операции над последовательностями, имеющими пределы (доказательство).

Если x_n,y_n – числовые последовательности, то их суммой, разностью, произведением, частным при y_n 0 называются соответственно последовательности {(x_n y_n)},{(x_ny_n)},{(x_n/y_n}.

Теорема о пределе суммы, произведения, частного.

Сумма сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {х_n} и {y_n}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х_n} и {y_n}. Тогда:  x_n=а+a_n, y_n=b+b_n, где {a_n} и {b_n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (х_n + y_n) - (а + b) =a_n+b_n.

Таким образом, последовательность {(х_n + y_n) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х_n + y_n} сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.

Разность сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {х_n} и {y_n}. Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х_n} и {y_n}.Тогда: x_n=а+a_n,   y_n=b+b_n, где {a_n} и {b_n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (х_n - y_n) - (а - b) =a_n-b_n.

Таким образом, последовательность {(х_n - y_n) - (а - b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х_n - y_n} сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.

Произведение сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {х_n} и {y_n}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х_n} и {y_n}, то x_n=а+a_n, y_n=b+b_n и x_n×y_n=a×b+a×b_n+b×a_n+a_n×b_n. Следовательно,

x_n×y_n-а×b=a×b_n+b×a_n+a_n×b_n. (в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {a×b_n+b×a_n+a_n×b_n} бесконечно малая, и поэтому последовательность {x_n×y_n-а×b} тоже бесконечно малая, а значит последовательность {x_n×y_n} сходится и имеет своим пределом число а×b. Теорема доказана.

Частное двух сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n} при условии, что предел {y_n} отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {x_n} и {y_n}.

Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {y_n} отличны от ноля  и последовательность {1/y_n} ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность {x_n/y_n}. Пусть а и b – пределы последовательностей {x_n} и {y_n}. Докажем, что последовательность{x_n/y_n – a/b} бесконечно малая. В самом деле, так как x_n=а+a_n, y_n=b+b_n, то x_n/y_n – a/b=(x_n*b-y_n*a)/y_n*b=(1/y_n)/(α_n- (a/b)*β_n). Так как последовательность {1/y_n} ограничена, а последовательность {α_n – (a/b)*β_n} бесконечно мала, то последовательность {(1/y_n)*((a/b)*β_n)}={x_n/y_n-a/b} бесконечно малая. Теорема доказана.