2. Определение и свойства интеграла

Пусть L: z=z(t),  ≤ t≤  -- непрерывная кривая. Рассмотрим разбиение отрезка [,  ] с отмеченными точками:

Обозначим Δz_j=z(t_j)-z(t_j-1 ). Параметром разбиения назовем неотрицательное действительное число

Предположим, что нам задана функция , определенная на множестве, содержащем носитель кривой L. Составим интегральную сумму:

Интегралом функции f(z) по кривой L называется предел интегральных сумм (1), если параметр разбиения стремится к 0:

Если кривая не является непрерывной, но есть сумма непрерыных кривых , носители которых не пересекаются, то по определению

Теорема. Если – кусочно-гладкая кривая, а кусочно-непрерывная на носителе , то интеграл (2) существует, причем

Доказательство. Обозначим , , (1≤ j≤ n). Тогда

Переходя здесь к пределу , получим, что правая часть (5) имеет предел раный сумме двух криволинейных интегралов. Тогда

Для гладкой кривой формула (6) дает возможность сведения к определенному интегралу по отрезку (см. (4)) □

Сформулируем без доказательства стандартные свойства интеграла.

И1. [линейность] Для любых a,b∈ ℂ и любых функций f(z), g(z), интегрируемых по кривой L, имеет место равенство:

_L(af(z)+bg(z)) dz=a _Lf(z)dz+b _L g(z) dz.

И2. [аддитивность] Если функция f(z) интегрируема по сумме кривых L₁+L₂, то она интегрируема по каждой кривой и

_{L_1+L_2} f(z) dz=_{L_1} f(z) dz+_{L_2} f(z) dz.

И3 [изменение знака] Если функция f(z) интегрируема по кривой L, то она интегрируема по противоположной кривой и

И4. Интеграл по точке равен нулю

3. Длина кривой

Длиной непрерывной кривой L: z=z(t),  ≤ t≤  называется предел интегральных сумм при . В курсе анализа действительной переменной доказывается, что длина кусочно-гладкой кривой существует (т. е. такая кривая спрямляема) и длина выражается следующим интегралом:

Кроме этого длина обладает свойством аддитивности

что следует из аддитивности интеграла (8).

Вычислим длину единичной окружности:

.

Итак: число "пи" равно половине длины единичной окружности. Это есть геометрический смысл числа "пи".

И4[оценка интеграла] Пусть |f(z(t))| ≤ M для любого t∈ [ ,  ] спрямляемой кривой L. Тогда | _Lf(z) dz| ≤ M⋅ длина (L).

Вычислим интегралы (n∈ℤ ) , которые позже понадобятся для представления функции в виде суммы ряда.

Если n=1, то этот интеграл равен 2πi, иначе он равен нулю. Итак:

Как следствие получаем: если γ_k -- окружность |z-z₀|=𝜺 , проходимая против часовой стрелки k раз, то ∮_{γ _k} dz/(z-z₀) =2πki .

15. Теорема Коши

1. Теорема Коши для односвязной области

Пусть функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) аналитична на замкнутой ограниченной многосвязной области D, и L -- замкнутая кусочно-гладкая кривая. Преобразуя интеграл ∮_L u dx-v dy по формуле Грина к двойному интегралу и учитывая условия Коши--Римана, получаем, что значение этого интеграла равно нулю. Аналогично доказывается равенство ∮_L udy+vdx=0. Итак:

Теорема Коши. Интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции в односвязной области равен 0 .

Теорема. Пусть аналитична в открытой ограниченной односвязной области D и непрерывна на ее замыкании. Тогда интеграл по границе этой области равен 0

Теорема. Пусть аналитична в некоторой односвязной области G. Тогда интеграл по всякой дуге, находящейся внутри области G зависит только от положения начальной и конечной точки и является аналитической функцией. При этом

Доказательство. Заметим, что действительнозначная функция двух переменных Φ (x,y)= ^(x,y) u dx-v dy -- потенциал векторного поля (u,-v), а функция Ψ (x,y)=_{(x_0,y_0)}^(x,y) v dx+u dy -- потенциал векторного поля (v,u). Тогда

∂ (Φ +iΨ )/ ∂x =u+iv, ∂ (Φ +iΨ )/ ∂y =-v+iu,

откуда и следует результат. Отсюда получаем формулу для функций комплексного переменного, аналогичную формуле Ньютона-Лейбница: