10. Степенные ряды

Пусть

Через R обозначим радиус сходимости ряда (1). Тем самым ряд (1) равномерно сходится к в любом замкнутом круге при условии . В частности будет непрерывной функцией на открытом круге .

Теорема. Функция S(z) аналитична в круге сходимости и

При этом ряд в правой части (2) имеет тот же радиус сходимости, что и ряд (1).

Далее будут рассматриваться также и ряды вида

Такие ряды заменой сводятся к степенным рядам по степеням ζ . Из теоремы Абеля вытекает:

Следствие. Существует неотрицательное действительное число r или +∞ такое, что ряд (3) сходится абсолютно в области |z-z₀| >r, и его сумма -- аналитическая в это

Пример. Ряд -.... сходится в области , и его сумма совпадает в этой области с функцией .

11. Основные функции комплексной переменной

1. Экспонента

Напомним определение комплексной экспоненты – . Тогда

-- разложение в ряд Маклорена. Радиус сходимости этого ряда равен +∞, значит комплексная экспонента аналитична на всей комплексной плоскости и

Первое равенство здесь следует, например, из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда.

2. Тригонометрические и гиперболические функции

Синусом комплексного переменного называется функция

Косинус комплексного переменного есть функция

Гиперболический синус комплексного переменного определяется так:

Гиперболический косинус комплексного переменного -- это функция

Отметим некоторые свойства вновь введеных функций.

A. Если x∈ ℝ , то cos x, sin x, ch x, sh x∈ ℝ .

Б. Имеет место следующая связь тригонометрических и гиперболических функций:

В. Основные тригонометрическое и гиперболическое тождества:

Доказательство основного гиперболического тождества:

Доказательство основного тригонометрического тождества:

(применено свойство Б)

Г Формулы сложения:

В частности,

Д. Для вычисления производных тригонометрических и гиперболических функций следует применить теорему о почленном дифференцировании степенного ряда. Получим:

Е. Функции cos z, ch z четны, а функции sin z, sh z нечетны.

Ж. (Периодичность) Функция e^z периодична с периодом 2π i. Функции cos z, sin z периодичны с периодом 2π , а функции ch z, sh z периодичны с периодом 2πi. Более того,

Применяя формулы суммы, получаем разложение на действительную и мнимую части экспоненты и тригонометрических, а также гиперболических функций.

З. Разложения на действительную и мнимую части:

Если однозначная аналитическая функция отображает биективно область D на область G, то D называется областью однолистности.

И. Область D_k={ x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e^z, которая отображает ее на область .

Доказательство. Из соотношения (5) следует инъективность отображения exp:D_k→ ℂ . Пусть w -- любое ненулевое комплексное число. Тогда, решая уравнения e^x=|w| и e^iy =w/|w| с действительными переменными x и y (y выбираем из полуинтеравала [2πk, 2π (k+1))), получим z=x+iy∈D_k такое, что exp z=w. Сюръективность доказана.

Следствием предыдущего свойства является

К. Область значений. Область значений функций cos z, sin z, ch z, sh z есть все поле комплексных чисел.

Л. Нули Решением уравнения sin z=0 является множество {πk | k∈ ℤ } . Нули функции cos z -- множество { π /2+πk | k∈ ℤ } . Нулями функции sh z является множество { πki | k∈ ℤ} , а нули функции ch z -- множество { π/2i+πki | k∈ ℤ } .

Доказательство. Имеет место соотношения sin z=0 тогда и только тогда, когда e^iz -e^-iz =0 Это равносильно соотношению e^2iz =0, что дает 2iz=2πik. Окончательно, z=2πk (k∈ ℤ ). Аналогично доказываются утверждения для остальных функций.□

Функция tg z=sin z /cos z называется тангенсом, а функция th z= sh z/ ch z называется гиперболическим тангенсом. Производные тангенсов вычисляются c использованием известного правила "производная отношения":

(tg z)'=1/cos²z , (th z)'= 1/ch²z .

Область допустимых значений тангенса tg z есть многосвязная область ℂ \{π /2+πk | k∈ ℤ }