- •Поле комплексных чисел
- •Сопряжение комплексных чисел
- •Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •Комплексная экспонента
- •Извлечение корней из комплексных чисел.
- •Последовательности и ряды комплексных чисел
- •Расширенная комплексная плоскость
- •Дробно-линейная функция
- •Группа дробно-линейных преобразований сферы Римана
- •Инверсия.
- •Аналитичность
- •Гармонические функции
- •Степенные ряды
- •Основные функции комплексной переменной
- •Экспонента
- •Тригонометрические и гиперболические функции
- •Аргумент комплексного числа
- •Многозначные функции
- •Интегрирование функции комплексного переменного
- •Кривые на комплексной плоскости
- •Определение и свойства интеграла
- •Длина кривой
- •Теорема Коши
- •Теорема Коши для односвязной области
- •Распространение на многосвязные области
- •Интегральная формула Коши
- •Ряд Тейлора
- •Теорема единственности и аналитическое продолжение
- •Ряд Лорана
- •Изолированные особые точки
- •1. Особые точки
- •2. Разложение в окрестности особой точки
- •Основная теорема о вычетах
- •Вычисление интегралов с помощью вычетов
- •Литература
Основная теорема о вычетах
Пусть в проколотой окрестности точки функция аналитична. Тогда величину
где ρ -- достаточно малое положительное число, будем называть вычетом функции f(z) в точке a . Вычетом функции относительно бесконечно удаленной точки считаем величину
где C -- окружность с центром в начале координат такая, что вне круга, определяемого этой окружностью, функция f(z) особенностей не имеет.
Первичные следствия этого определения следующие:
а) вычет не зависит от величины ρ ;
б) вычет совпадает с коэффициентом ряда Лорана функции f(z) в кольце 0<|z-a| <ρ (см. формулу ( 4loran ));
в) если f(z) аналитична в точке a или a -- устранимая особенность, то вычет в ней равен 0.
Предложение. Пусть -- полюс порядка m функции f(z). Тогда
Доказательство. Если -- полюс порядка m, то , где g(z) -- правильная часть, тем самым аналитическая функция в точке . Тогда
Дифференцируя это соотношение m-1 раз, получим:
где h(a)=0. Переходя к пределу и разделив на (m-1)!, получим требуемую формулу.□
Отметим частный случай, когда -- простой полюс. Тогда
В частности, если , где g(z),h(z) аналитичны в окрестности точки и , , то -- простой полюс и .
Доказательство. Требует доказательства только утверждение " в частности". Из условия следует, что h(z)=(z-a)⋅s(z) для некоторой аналитичной функции s(z) такой, что s(a)≠ 0. Тогда f(z)=1/ z-a ⋅ g(z)/ s(z) и g(a) / s(a) ≠ 0. Следовательно, a -- простой полюс. Далее, переходя в следующем соотношении (z-a)f(z)= g(z) /[ (h(z)-h(a))/(z-a)] к пределу z→ a, получаем формулу Res[f(z),a]= g(a)/h'(a) .□
Основная теорема о вычетах. Пусть f(z) аналитична в замкнутой области D, кроме точек , лежащих внутри области D. Тогда
Доказательство. Пусть -- окружности достаточно малых радиусов с центрами в точках такие, что круги ими ограничиваемые, целиком лежат внутри области D и попарно не пересекаются. Тогда аналитична в области и по теореме Коши имеет место равенство:
Отсюда следует, что
∮ _ ∂ D f(z) dz=∮ _ c_1+… +c_m f(z) dz=∮ _ c_1 f(z) dz+… +∮ _ c_m f(z) dz= =2πi [Res[f(z),a_1]+… +2πi Res[f(z),a_m],
что и требовалось доказать.
Пример Вычислим интеграл:
Вычисление интегралов с помощью вычетов
Предложение. Предположим, что бесконечно удаленная точка является нулем второго или более высокого порядка функции , т.е. ограничена вне круга достаточно большого радиуса. Допустим также, что f(z) является аналитической функцией на действительной оси, а в верхней полуплоскости Im z>0 имеет лишь конечное число особых точек . Тогда
Доказательство. Все лежащие в верхней полуплоскости особые точки можно заключить внутрь расположенного в верхней полуплоскости полукруга достаточно большого радиуса R с центром в начале координат. По основной теореме о вычетах получаем
_L f(z) dz+ _ -R ^ +R f(x) dx=2πi∑_ j=1 ^n Res[f(z),a_j], (2)
где L -- верхняя полуокружность радиуса R, проходимая против часовой стрелки. Так как f(z)=g(z)/z^2 , где g(z) -- ограничена на бесконечности, например, числом M, то
при R→ +∞ . Тогда, переходя в соотношении (2) к пределу R→ +∞ , получаем требуемое равенство.
Пример. Вычислим интеграл:
Лемма К. Жордана. Пусть на некоторой последовательности дуг окружностей ( – фиксировано) функция стремится к нулю равномерно относительно Тогда для любого положительного числа λ
Доказательство. Обозначим . По условию леммы при . Величина также стремится к 0, причем . Пусть сначала a>0.
E На рис. . На дугах АВ и CD имеем
C B , следовательно
D -a A . На основании неравенства
Рис. Лемма Жордана , справедливого при , мы заключаем, что на дуге BE имеет место неравенство
Следовательно,
Если для дуги EC отсчитывать полярный угол от отрицательной полуоси, то оценка интеграла по этой дуге будет такая же как и для дуги BE. Случай разобран. Случай еще проще – не надо оценивать интегралы по дугам AB и CD. □
Замечание. Последовательность дуг можно заменить на семейство дуг радиуса .
Переформулировка леммы Жордана. Заменим . Пусть на некотором семействе дуг окружностей радиуса и функция стремится к нулю равномерно относительно Тогда для любого положительного числа t
Следствие. Пусть , причем m>0, и F(z)→ 0, когда z→ ∞ по любому закону, оставаясь, однако в области Im z≥ 0. Предположим, кроме того, что f(z) аналитична, а в верхней полуплоскости имеет не более конечного числа особых точек . Тогда
Пример Вычислим интеграл:
_ -∞^ +∞ xcos x dx / x^2-2x+10 =_ -∞^ +∞ ze^ iz dz / z^2-2z+10 = = Re 2πi⋅ Res[ze^ iz/ z^2-2z+10 ,1+3i] =Re 2πi(1+3i)e^(-3+i)/2(1+3i)-2 = 3πe^(-3)(cos1-3sin1).
Интеграл Дирихле. Вычислим следующий интеграл: . Он равен интегралу . Имеем:
Отсюда следует равенство:
.