- •Поле комплексных чисел
- •Сопряжение комплексных чисел
- •Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •Комплексная экспонента
- •Извлечение корней из комплексных чисел.
- •Последовательности и ряды комплексных чисел
- •Расширенная комплексная плоскость
- •Дробно-линейная функция
- •Группа дробно-линейных преобразований сферы Римана
- •Инверсия.
- •Аналитичность
- •Гармонические функции
- •Степенные ряды
- •Основные функции комплексной переменной
- •Экспонента
- •Тригонометрические и гиперболические функции
- •Аргумент комплексного числа
- •Многозначные функции
- •Интегрирование функции комплексного переменного
- •Кривые на комплексной плоскости
- •Определение и свойства интеграла
- •Длина кривой
- •Теорема Коши
- •Теорема Коши для односвязной области
- •Распространение на многосвязные области
- •Интегральная формула Коши
- •Ряд Тейлора
- •Теорема единственности и аналитическое продолжение
- •Ряд Лорана
- •Изолированные особые точки
- •1. Особые точки
- •2. Разложение в окрестности особой точки
- •Основная теорема о вычетах
- •Вычисление интегралов с помощью вычетов
- •Литература
Извлечение корней из комплексных чисел.
C помощью комплексной экспоненты легко извлекаются корни из комплексных чисел. Решим уравнение . Если w=0, то имеется только один нулевой корень кратности n. Пусть . Запишем в показательном виде , где . Найдем арифметический корень n-ой степени из r и обозначим его . Тогда уравнение имеет n корней, расположенных на окружности радиуса в вершинах правильного n-угольника
/*/ Действительно, применяя формулу Муавра, легко проверить, что все -- корни уравнения Пусть – какой-либо корень уравнения . Тогда . Приравнивая модули, получаем равенство . Сокращая на и деля на , получим откуда и . Это значит, что для некоторго целого . Поделим на с остатком: , где . Тогда
и . Следовательно, .
Корни (3) расположены в вершинах правильного - угольника, вписанного в окружность радиуса , имеющей центр в нулевой точке.
Н апример, найдем корни уравнения . Здесь арифметический корень шестой степени из 64 равен 2, а агрумент равен нулю. Следовательно, корни имеют вид
Последовательности и ряды комплексных чисел
Предложение 1. Пусть – последовательность комплексных чисел, . Тогда
Доказательство вытекает из непрывности отображений и А именно, если мало, то и малы, а также если малы, то мал (модуль мал). □
Предложение 2. Из абсолютной сходимости следует сходимость ряда.
Докажем этот факт. Обозначим . Тогда для любого 𝜺 >0 найдется, благодаря критерию Коши, натуральное N такое, что для любых имеет место неравенство Без ограничения общности можно считать, что . Тогда
Применяя снова критерий Коши к ряду , получаем его сходимость. □
Расширенная комплексная плоскость
Открытую область |z|>R считаем R-окрестностью бесконечно удаленной точки ∞ . Считаем:
z/∞ = 0, ∞ +z=z+∞ =∞ (z∈ ℂ ), c/0 =∞ , ∞ ⋅ c=c⋅ ∞ =∞ (c∈ ℂ *).
Поле комплексных чисел, пополненное элементом ∞, с определенными для него выше правилами, назовем расширенной комплексной плоскостью.
Поместим комплексную плоскость ℂ в трехмерное пространство и рассмотрим в этом пространстве сферу Римана . Точку N(0,0,1) назовем северным полюсом, а точку S(0,0,-1) назовем южным полюсом. Построим стереографическую проекцию сферы Римана на комплексную плоскость, т. е. отображение ℂ такое, что для любой точки P∈ ℜ , не совпадающей с северным полюсом, точки N, P и (P)∈ ℂ лежат на одной прямой. Получаем биективное соответствие между точками сферы Римана с выброшенным северным полюсом и точками комплексной плоскости.
Предложение. Стереографическая проекция задается формулами:
Если последовательность точек Pn на сфере Римана стремится к N, то и наоборот, если последовательность комплексных чисел стремится к ∞ , то приближается к северному полюсу по сфере Римана.
Дробно-линейная функция
Группа дробно-линейных преобразований сферы Римана
Функция вида , где a,b,c,d∈ ℂ и ad-bc≠ 0, называется дробно-линейной . В частности, дробно-линейной функцией будет всякая линейная функция w=az+b с a≠ 0. Дробно-линейная функция неопределена в точке -d/c, но нетрудно вычислить, что предел функции при равен ∞. Полагаем по определению w(-d/c)=∞ и, кроме того, ясно, что w(∞ )=a/c. Тогда дробно-линейная функция задает биективное преобразование расширенной комплексной плоскости.
Предложение. Обратная к дробно-линейной функции также будет дробно-линейной функцией . Композиция дробно-линейных функций снова будет дробно линейной функцией.