- •Непрерывные функции Определения
- •Типы разрывов
- •Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции
- •Теоремы о непрерывных функциях
- •Равномерная непрерывность. Теорема Кантора
- •Монотонные функции
- •Обратная функция. Теорема о существовании обратной функции у монотонной функции
- •Непрерывность элементарных функций
- •Замечательные пределы
- •Типы неопределенных выражений
Замечательные пределы
Рассмотрим еще некоторые пределы, которые полезно знать.
Вспомним замечательный предел
Сделаем в нем "замену переменных" . Тогда при и мы получим
Вспомним, что loga – непрерывная функция. Логарифмируя предыдущее равенство, получим:
Итак,
В частности,
В предыдущем соотношении сделаем снова замену переменных . Тогда при получаем
Переворачивая это соотношение, получим
,
В частности,
.
Докажем, что
положим .
Тогда при x0 y0. Далее , и логарифмируя это равенство, получим
ln(1+x)=ln(1+y)
Далее имеем
так как оба написанных предела равны 1.
Докажем, что при a>1 и при >0
а) Докажем сначала, что при a>1 . Действительно, обозначим a=1+, >0. Пользуясь формулами бинома Ньютона, получим
.
Поэтому , ,
т.е. .
б) Возьмем произвольное x+ и обозначим n=[x], т.е. целая часть от x. Тогда n x n+1 и получаем
,
так что . Поэтому .
в) Наконец, при произвольном >0 имеем
Докажем, что при >0 и a>1
Действительно, делая замену переменных loga(x)=y, x=ay, получим, что при x, y
Докажем, что при >0 и a>1
Действительно, делая замену переменных
Типы неопределенных выражений
При решении различных практических задач большую роль играют так называемые неопределенные выражения или, коротко, неопределенности. Рассмотрим основные их типы.
Пусть имеются две функции u(x) и v(x).
Пусть . Тогда предел вида называется неопределенностью типа . Процесс вычисления этого предела называется "раскрытием неопределенности". Разумеется, что формула здесь неприменима. так как
Пусть . Тогда предел вида называется неопределенностью типа .
Пусть . Тогда предел вида называется неопределенностью типа . Разумеется, и здесь нельзя пользоваться формулой
Степенные неопределенности.
Рассмотрим теперь предел вида .
Так как , то, пользуясь непрерывностью функции ex, можно записать
.
Это можно сформулировать в виде следующего правила: для вычисления предела выражения вида u(x)v(x) надо это выражение сначала прологарифмировать.
Какие же неопределенности могут иметь здесь место? Так как приходится вычислять lim[u(x)v(x)], а здесь возможна только неопределенность типа , то возможны следующие варианты.
. Последнее означает, что и поэтому говорят, что мы имеем дело с неопределенностью типа .
. Последнее означает, что и поэтому говорят, что мы имеем дело с неопределенностью типа 00.
. Последнее означает, что и поэтому говорят, что мы имеем дело с неопределенностью типа 1.