Равномерная непрерывность. Теорема Кантора

Разберем теперь важное и сложное понятие равномерной непрерывности.

Пусть имеется функция f(x), которая непрерывна на некотором множестве Х. Вспомним, что это означает: это означает, что f(x) непрерывна в каждой точке этого множества и записывается так:

Обратим внимание на величину стоящую после квантора . От чего она зависит?

Общее правило гласит, что величина,стоящая после квантора зависит от всех величин, которые стоят после квантора , которые расположены впереди квантора . В данном случае перед стоят два квантора . Поэтому зависит от  и, и это самое главное, от х₀, т.е. ,x₀).

Так вот, эта зависимость  от х₀ очень сильно мешает при доказательстве многих теорем. Хотелось бы, чтобы  зависело только от  и не зависело от х₀, т.е. было бы одинаково пригодно для всех х₀ Х. Это желание избавиться от зависимости  от х₀ и приводит к понятию равномерной непрерывности.

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве Х, если

.

Обратите внимание на то, куда преместился квантор . Теперь он стоит после квантора и поэтому зависит теперь только от  и не зависит от х₀. Это местоположение квантора и есть главное в понятии равномерной непрерывности f(x) на множестве Х.

А теперь докажем достаточно сложную теорему о равномерной непрерывности f(x).

Теорема Кантора. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a,b]. Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство.

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Надо доказать:

Противоположное утверждение:

1. Построение последовательностей.

Возьмем любую последовательность _n, которая монотонно убывает до нуля, т.е.

₁>₂>₃>…_n0, n

Тогда для каждого _n

Перебирая все _n мы получим две последовательности {x_n} и .

2. Выделение сходящихся подпоследовательностей.

Рассмотрим последовательность {x_n}. Она ограничена, т.к. a x_n b. По лемме Больцано-Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность , т.е. . Заметим, что c[a,b] в силу замкнутости [a,b]. А что можно сказать о подпоследовательности ? Т.к. , то

.

Но так как а то по теореме “о двух милиционерах” отсюда следует, что также , т.е. подпоследовательность сходится к тому же пределу c, что и .

3. Сведение к противоречию.

Рассмотрим теперь последний квантор

Переходя к пределу k и учитывая непрерывность функции y=|x|, получим:

В силу непрерывности f(x) , так что получаем, что

|f(c)-f(c)| 

т.е. получаем, что 0. Это противоречит квантору , где строго больше 0.

Монотонные функции

Докажем теперь две теоремы, касающиеся непрерывности монотонных функций.

Теорема 1.. Пусть f(x) определена и монотонна на замкнутом отрезке [a,b]. Тогда она может иметь на этом отрезке только разрывы I рода (скачки).

Доказательство.

Пусть, для определенности, f(x) монотонно возрастает.

Возьмем какую-то точку x₀[a,b]. Пусть мы приближаемся к точке х₀ слева (см. рис.). Тогда при этом значения функции f(x) будут монотонно возрастать. Но они будут ограничены сверху, например, величиной f(x₀). Поэтому, по теореме о пределе монотонно-возрастающей функции будет существовать конечный .

При движении к х₀ справа значения f(x) будут монотонно убывать, но будут ограничены снизу величиной f(x₀). Поэтому снова существует конечный .

Если f(x₀+0)= f(x₀-0), то f(x) будет непрерывна в точке х₀, если же f(x₀+0)<f(x₀-0), то у f(x) в точке х₀ будет разрыв I рода. 

Определение. Говорят, что значения функции f(x), определенной на <a,b>, заполняют некоторый отрезок <c,d> сплошь, если

.

Теорема 2. Для того, чтобы монотонная функция f(x) была непрерывной на [a,b], необходимо и достаточно, чтобы ее значения заполняли отрезок [f(a), f(b)] сплошь.

Доказательство.

Пусть, для определенности, f(x) монотонно возрастает.

1. Пусть f(x) непрерывна на [a,b]. Тогда . Согласно второй теореме Больцано-Коши, . Поэтому отрезок [f(a),f(b)] заполнен сплошь.

2. Пусть f(x) не является непрерывной на [a,b]. Тогда она на [a,b] может иметь только разрывы I рода. Пусть х₀ – координата такого разрыва. Возможные поведения графика f(x) изображены на рисунках.

Из них видно, что в этом случае отрезок [f(a), f(b)] заполнен не сплошь. 