- •Непрерывные функции Определения
- •Типы разрывов
- •Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции
- •Теоремы о непрерывных функциях
- •Равномерная непрерывность. Теорема Кантора
- •Монотонные функции
- •Обратная функция. Теорема о существовании обратной функции у монотонной функции
- •Непрерывность элементарных функций
- •Замечательные пределы
- •Типы неопределенных выражений
Теоремы о непрерывных функциях
Перейдем к доказательству важнейших теорем о непрерывных функциях.
Первая теорема Больцано-Коши.Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает разные по знаку значения.Тогда существует такая точка с принадлежащая [а,b] в которой f(c)=0.
Доказательство.
Пусть, для определенности, f(a)<0, f(b)>0. Ситуация выглядит так:
Для доказательства теоремы снова используем метод деления отрезка пополам.
Деление отрезков пополам.
Разделим отрезок [a, b] пополам. Середина его будет точка . Тогда возможны такие варианты:
а) . В этом случае, взяв , теорему можно считать доказанной.
б) . В этом случае для дальнейшего рассмотрения оставим отрезок , который обозначим [a1, b1].
в) В этом случае для дальнейшего рассмотрения оставим отрезок , который обозначим [a1, b1].
Проделаем такую же процедуру с отрезком [a1, b1], получив отрезок [a2, b2], затем то же самое с отрезком [a2, b2], получив отрезок [a3, b3] и т.д. Заметим, что для дальнейшего рассмотрения все время оставляется тот отрезок, для которого f(an)<0 и f(bn)>0.
Построение точки С.
В результате этой процедуры возможны два варианта.
А. На каком-то шаге n получится, что . В этом случае в качестве точки С следует взять и теорема будет доказана.
Б. .
В этом случае мы получаем систему отрезков [an, bn], для которой
а) [a,b][a1, b1] [a2, b2][a3, b3]…
б)
в)f(an)<0; f(bn)>0
Но тогда, по лемме о вложенных отрезках, существует . Используя непрерывность функции f(x), получим
т.к. всегда было f(an)<0, f(bn)>0. Сравнивая эти два неравенства получим, что f(c)=0, что и требовалось доказать.
Вторая теорема Больцано-Коши. Пустьf(x) определена и непрерывна на отрезке <a,b> и . Тогда m<C<M с<a,b> f(c)=C.
Примечание. Символ < означает любой из двух символов – ( или [, а символ > - любой из двух символов - ) или ]. Таким образом, отрезок <a, b> означает любой из следующих отрезков – [a,b], (a,b], [a,b), или (a,b).
Доказательство.
Так как к супремуму и инфимуму можно подойти сколь угодно близко, то можно утверждать, что
x1<a, b> m<f(x1)<C
x2<a, b> C<f(x2)<M
Очевидно, что отрезок [x1, x2] <a, b>.
Рассмотрим функцию (x)=f(x)-C. Для нее имеем:
(x1)=f(x1)-C<0; (x2)=f(x2)-C>0.
Согласно первой теореме Больцано-Коши, с<a, b>, такая, что (с)=0. Но тогда эта же точка с<a, b> и для нее (с)=f(c)-C=0, т.е. f(c)=C.
Первая теорема Вейерштрасса.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда она ограничена на этом отрезке, т.е. существуют такие числа m и M, что x принадлежащего [a,b] f(x) больше либо равно m и меньше либо равно M.
Доказательство.
Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.
Предположим противное – пусть, например, функция f(x) неограничена сверху.
Построение последовательности. Мы предположили, что f(x) неограничена сверху на [a,b]. Это означает, что для любого числа А найдется такая точка x[a,b], что f(x)>A.
Возьмем в качестве числа А числа 1, 2, 3, 4,… Тогда , что f(xn)>n.Мы получили, таким образом, некоторую последовательность {xn}[a,b] и удовлетворяющую свойству f(xn)>n.
Выделение подпоследовательности. Так как последовательность {xn} ограничена, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся последовательность {xn}, т.е. . В силу замкнутостиотрезка [a, b] точка c [a,b]. (Отметим,что в этом месте используется ограничение теоремы – замкнутость [a,b]. Если бы, например, был (a,b), то с могла бы и не принадлежать (a,b)).
Сведение к противоречию.Т.к. согласно п.1 , то, переходя к пределу kполучим т.е. f(c)=+, что противоречит условию теоремы, где сказано, что f(x) определена на отрезке [a,b],что означает, что f(c) должна иметь конечное значение.
Вторая теорема Вейерштрасса.
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке[a,b]. Тогда существуют такие точки x1, x2 принадлежащие [a,b], что , т.е. инфимум и супремум f(x) достигаются на [a,b].
Доказательство.
Докажем теорему только для супремума.
Построение последовательности. По первой теореме Вейерштрасса, f(x) ограничена сверху на [a,b],т.е.
По свойствам супремума, к нему можно подойти сколь угодно близко. Поэтому . Беря n=1,2,3,… получим последовательность {x1, x2, x3,…}такую, что .
Выделение подпоследовательности. Т.к. n a xn b, то по лемме Больцано-Вейерштрасса, из последовательности {xn} можно выделить сходящуюся подпоследовательность такую, что , причем с[a,b] в силу его замкнутости.
Достижение супремума. Для нашей подпоследовательности верно условие
.
4.Переходя к пределу k получим
.
Но , кроме того, в силу непрерывности f(x), . В результате получим, что Mf(c) M, т.е. f(c)=M и супремум f(x) достигается в точке с.