2.4. Однократные измерения

Различают однократные (одиночные) и многократные (множе­ственные) прямые измерения.

Однократные измерения – это самые простые по выполнению и обработке – наиболее распространены в практике технических из­мерений – и означают получение окончательного результата по одному разовому наблюдению (отсчету).

Рассмотрим вопрос определения оценок основной, допол­нительной (вызванной одной ВВ – температурой окружающей среды) и суммарной инструментальных погрешностей. Предпо­ложим, цифровым мультиметром с диапазоном измерения пе­ременных напряжений 0...400 В получен результат измерения действующего значения напряжения в электрической цепи: U = 220,0 В. Класс точности прибора (предельное значение основной абсолютной погрешности Δ_п) на этом диапазоне задан таким об­разом:

Δ_п = ± (0,005 Х_к + 0,005 Х),

где Х_к – верхнее значение диапазона измерения (в нашем случае Х_К = 400 В); X – измеренное значение (220,0 В).

В паспорте на прибор записано «... дополнительная погрешность на каждые 10 °С отличия от номинальной температуры +20 °С равна половине основной погрешности в пределах диапазона рабочих температур окружающей среды от 0 до +50 °С». Температура окру­жающей среды во время эксперимента была зафиксирована рав­ной + 35 °С. Все остальные ВВ, допустим, находились в пределах своих нормальных значений.

Для решения задачи воспользуемся наиболее простым (детер­минированным) подходом – оценкой по наихудшему случаю, т. е. определим максимально возможные значения погрешностей при заданных условиях с доверительной вероятностью р_дов = 1. Пре­дельное значение основной абсолютной погрешности:

Δ_о = ±(0,005 · 400 + 0,005 · 220) = = ±(2,0+ 1,1) = ±3,1 В.

Предельное значение дополнительной абсолютной погрешно­сти Δ_д определяется так:

Δ_д =(1/2) Δ_о (35–20)/10 = ±(1/2) · 3,1 · 15/10 ≈ ±2,3В.

Суммарные инструментальные абсолютная Δ и относительная δ погрешности результата измерения:

Δ = Δ_о + Δ_д ≈ ±(3,1+ 2,3) = ±5,4 В; δ ≈ ±5,4 /220  100 ≈ ±2,5%.

Напомним, что реальные погрешности могут иметь любые кон­кретные значения, не превышающие этих рассчитанных предель­ных значений.

Правильная запись окончательного результата этого измерения выглядит так:

Х = 220В, Δ =±5,4 В, р_дов =1,

где X – результат измерения; Δ – предельное значение суммарной инструментальной абсолютной погрешности; р_дов – доверитель­ная вероятность того, что реальное значение погрешности не пре­взойдет рассчитанного значения Δ (реальная инструментальная погрешность в данном эксперименте ни при каких обстоятельствах не может превысить по модулю значения 5,4 В).

Отметим, что расчет суммарной погрешности результата из­мерения в общем случае предполагает нахождение максимально возможного числа составляющих (основной и дополнительной инструментальных, методической, взаимодействия, субъектив­ной).

2.5. Обработка результатов многократных измерений.

Многократные измерения одной и той же величины производятся при повышенных требованиях к точности измерения. При этом в них можно выделить следующие операции:

1)после анализа априорной информации получают независимых значений отсчета;

2)при необходимости в результаты измерения вносят поправки на систематические погрешности;

3)проверяется, нет ли ошибочных измерений при получении отдельных результатов измерения. Для этого используется правило 3-х сигм.

Правило 3-х сигм: Если при многократных измерениях одной и той же физической величины постоянного размера сомнительные значения результата отличны от среднего результата более чем на , то с вероятностью такое измерение ошибочно и его необходимо отбросить.

Для наиболее часто встречающегося на практике нормального закона распределения случайных погрешностей оценки максимального правдоподобия имеют особые обозначения.

1-ой оценкой является оценка истинного значения, которой является среднее арифметическое из результатов отдельных наблюдений:

.

2-ая оценка дисперсии результатов наблюдений при малом является немного смещенной, поэтому точечную оценку дисперсии принято определять по следующей формуле

.

Оценка среднего квадратичного отклонения

. ( - оценка дисперсии, - истинное значение дисперсии)

Основополагающая идея многократного измерения одной и той же величины постоянного результата с целью увеличения точности измерения состоит в переходе от данного результата измерения к его среднему арифметическому. При этом если исходное распределение подчиняется закону Гаусса, то и среднее арифметическое точно так же, как и результат измерения, является случайной величиной и подчиняется при большом количестве измерений распределению Гаусса. При этом дисперсия среднего арифметического в раз меньше дисперсии результатов измерения: .

3-я оценка называется оценкой среднеквадратичного отклонения среднего арифметического

,

.

При нормальном законе распределения вероятности результатов измерения при малом количестве измерений среднее арифметическое перестает подчиняться закону распределения Гаусса и подчиняется закону распределения Стьюдента, которое зависит от количества измерений.

Таким образом, при многократных измерениях результат измерения записывают следующим образом , .