Векторы на плоскости и в пространстве Линейные операции над векторами
1. Вектором называется направленный отрезок прямой и обозначается или , где А – начальная, а В – конечная точки.
2. Длиной (или модулем) (или ) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.
Виды векторов |
Определение |
Обозначение |
Нулевой |
, если А = В |
|
Коллинеарные |
Векторы, параллельные одной прямой |
|| |
Одинаково направленные |
и коллинеарные и имеют одно и то же направление |
|
Противоположно направленные |
и коллинеарны и направлены в противоположные стороны |
|
Компланарные |
Векторы , , , параллельные одной плоскости (или лежащие в одной плоскости) |
||П ( П) ||П ( П) ||П ( П) |
Единичный вектор-орт |
Вектор длины, равной 1 |
, = 1, = 1 |
Равные |
Два вектора называются равными, если они совмещаются параллель-ным переносом |
|
С
|
Вектор, заданный в пространстве с точностью до параллельного переноса |
|
Линейные операции над векторами
1. Произведением вектора на число называется вектор
= ·| |, имеющий длину · , сонаправленный с , если > 0, и противоположно направленный вектору , если < 0.
Противоположный вектор – = (–1)· .
2. Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора , при условии, что начало совмещено с концом (правило треугольника).
= +
Построив на векторах и , выходящих из одной точки, параллелограмм, видим, что вектор = + совпадает с диагональю параллелограмма (правило параллелограмма).
Суммой n векторов называется вектор , идущий из начала в конец при условии, что начало последующего вектора совпадает с концом предыдущего (правило многоугольника).
=
Если три вектора не лежат в одной плоскости, то = представляет диагональ параллелепипеда, построенного на векторах .
Разностью двух векторов и называется сумма векторов и (– ), противоположного вектору , т.е. – = + (– ).
Легко убедиться в том, что в параллелограмме, построенном на векторах = и
= , одна диагональ – вектор = = + , а другая диагональ – вектор = = – .
D С
А В
+ = (а1 + b1; а2 + b2);
– = (а1 – b1; а2 – b2);
= (а1, а2).