Модуль и аргумент
Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).
Модуль
комплексного числа z обозначается | z | и
определяется выражением 
.
Часто обозначается буквами 
или 
.
Если z является вещественным
числом,
то | z | совпадает
с абсолютной
величиной этого
вещественного числа.
Для
любых 
имеют
место следующие свойства модуля. :
1) 
,
причём 
тогда
и только тогда, когда 
;;
2) 
(неравенство
треугольника);
3) 
;
4) 
.
Из
третьего свойства следует 
,
где 
.
Данное свойство модуля вместе с первыми
двумя свойствами вводят на множестве
комплексных чисел структуру
двумерного нормированного
пространства над
полем
.
5) Для пары комплексных чисел z1 и z2 модуль их разности | z1 − z2 | равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.
Угол 
(в
радианах) радиус-вектора точки,
соответствующей числу z,
называется аргументом числа z и
обозначается 
.
Из этого определения следует, что
; 
; 
.Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2kπ, где k — любое целое число.
Главным значением аргумента называется такое значение , что
.
Часто главное значение обозначается 
[4].
Главное значение аргумента обратного
числа отличается знаком от аргумента
исходного:
.
Сопряжённые числа
Геометрическое представление сопряжённых чисел
Если
комплексное число z = x + iy,
то число 
называется сопряжённым (или
комплексно сопряжённым) к z(обозначается
также z * ).
На комплексной плоскости сопряжённые
числа получаются зеркальным отражением
друг друга относительно вещественной
оси. Модуль сопряжённого числа такой
же, как у исходного, а их аргументы
отличаются знаком.
Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.
(сопряжённое
к сопряжённому есть исходное).
Обобщение: 
,
где p(z) —
произвольный многочлен с вещественными
коэффициентами.
Значимость
сопряжения объясняется тем, что оно
является образующей группы
Галуа 
.
Представление комплексных чисел Алгебраическая форма
Запись
комплексного числа z в
виде x + iy, 
,
называется алгебраической
формой комплексного
числа.
Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i2 = − 1):
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d);
Тригонометрическая и показательная формы
Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент (x = rcos φ, y = rsin φ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме
z = r(cos φ + isin φ).
Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:
z = reiφ,
где eiφ — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.
Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:
