17.Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (для n-го порядка).

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

где

• y = y(t) — искомая функция,

• y^(k) = y^(k)(t) — её k-тая производная,

•  — фиксированные числа,

• f(t) — заданная функция (когда  , имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).

Уравнение порядка n

Однородное уравнение:

интегрируется следующим образом:

Пусть   — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения

кратностей  , соответственно,  .

Тогда функции

являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.

Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней   можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида

и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.

18.Неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Для уравнения с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть имеет специальный вид, удается найти частное решениеметодом неопределенных коэффициентов (методом подбора частных решений).

   Рассмотрим этот метод для уравнения n-го порядка вида

            L(y) ≡ y ⁽ⁿ⁾ + a₁ y ^{(n – 1)} + … + a_{n – 1} y ' + a_n y = P_m (x)e ^αx,       (14.1)

где a₁, …, a_n — действительные числа, α — действительное число, P_m (x) — полином от x степени m, которая может быть равной нулю, так что этот полином может вырождаться в число, отличное от нуля.

   Метод неопределенных коэффициентов состоит в том, что задается вид частного решения с неопределенными коэффициентами, которые определяются подстановкой в данное уравнение. Вид частного решения уравнения зависит от того, совпадает ли число α с корнями характеристического уравнения:

Если α не является корнем характеристического уравнения, то частное решение имеет вид

             y₁ = Q_m (x)e ^αx,

где Q_m (x) — полином степени m с коэффициентами, подлежащими определению.

Если α является корнем характеристического уравнения кратности k, то

            y₁ = x^k Q_m (x)e ^αx,

т. е. частное решение приобретает множитель x^k.

Случай для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью имеющей вид:

            e ^αx(P₁ (x)cos bx + P₂ (x)sin bx).

   Рассмотрим уравнение

            L(y) ≡ y ⁽ⁿ⁾ + a₁ y ^{(n – 1)} + … + a_{n – 1} y ' + a_n y = e ^αx(P₁ (x)cos bx + P₂ (x)sin bx),       (14.2)

где α и b — действительные числа, P₁ и P₂ — полиномы от x, старшая степень которых равна m, так что один из них обязательно имеет степень m, а степень другого не превосходит m, и он может быть даже тождественно равен нулю.

   Составим комплексное число α + ib, где действительная часть α есть коэффициент показателя множителя e ^αx, а мнимая часть b — коэффициент аргумента bx функций cos bx и sin bx.

   Укажем вид частного решения уравнения (14.2) в двух случаях:

Если число α + ib не является корнем характеристического уравнения, то

            y₁ = e ^αx(Q₁ (x)cos bx + Q₂ (x)sin bx),

где Q₁ и Q₂ — полиномы степени m с неопределенными коэффициентами; причем надо брать оба эти полинома даже в том случае, когда один из полиномов P₁ и P₂ тождественно равен нулю.

Если число α + ib есть корень характеристического уравнения кратности k, то

            y₁ = x^ke ^αx(Q₁ (x)cos bx + Q₂ (x)sin bx),

т. е. частное решение приобретает множитель x^k.