15. Метод вариации произвольных постоянных.
Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.
Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z'(t) + a0(t)z(t) = f(t)
Метод состоит в замене произвольных постоянных ck в общем решении
z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ... + cnzn(t)
соответствующего однородного уравнения
an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z'(t) + a0(t)z(t) = 0
на вспомогательные функции ck(t), производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе
Определителем
системы (1) служит вронскиан функций z1,z2,...,zn,
что обеспечивает её однозначную
разрешимость относительно 
.
Если 
—
первообразные для
,
взятые при фиксированных значениях
постоянных интегрирования, то функция
является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.
Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме
состоит в построении частного решения (1) в виде
где Z(t) —
базис решений соответствующего
однородного уравнения, записанный в
виде матрицы, а векторная функция 
,
заменившая вектор произвольных
постоянных, определена соотношением 
.
Искомое частное решение (с нулевыми
начальными значениями при t = t0 имеет
вид
Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:
Матрица Z(t)Z − 1(τ) называется матрицей Коши оператора L = A(t).
16.Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (для 2-го порядка).
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:
где
y = y(t) — искомая функция,
y(k) = y(k)(t) — её k-тая производная,
—
фиксированные
числа,f(t) — заданная функция (когда
,
имеем линейное однородное уравнение,
иначе — линейное неоднородное
уравнение).
Уравнение второго порядка
Однородное уравнение второго порядка:
a2y'' + a1y' + a0y = 0
интегрируется следующим образом:
Пусть λ1,λ2 — корни характеристического уравнения.
a2λ2 + a1λ + a0 = 0,являющегося квадратным уравнением.
Вид
общего решения однородного уравнения
зависит от значения дискриминанта 
:
при Δ > 0 уравнение имеет два различных вещественных корня
Общее
решение имеет вид:
при Δ = 0 — два совпадающих вещественных корня
Общее решение имеет вид:
y(t) = c1eαt + c2teαt
при Δ < 0 существуют два комплексно сопряженных корня
Общее решение имеет вид:
y(t) = c1eαtcos(βt) + c2eαtsin(βt)