Правила вычисления вероятностей
Условная вероятность – вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.
Суммой двух случайных событий А и В наз события, состоящие в появлении события А, или события В, или обоих этих событий (лог «или»).
Суммой нескольких случайных событий наз событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.
Произведением двух случайных событий А и В наз событие, состоящее в совместном двух этих появлении (лог «и»).
Произведением нескольких случайных событий наз событие, состоящее в повялении всех этих событий одновременно.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Теорема:
Вероятность суммы конечного числа
несовместных событий
равна сумме вероятностей этих событий
P
Док-во
Докажем
эту теорему для случая суммы двух несовм
соб
и
.
Пусть соб
благоприятствуют
элементарных исходов, а событию
-
исходов. Так как соб
и
по условию несовместны, то соб
+
благоприятствуют
+
элементарных исходов из общего числа
n-исходов
=>
P(
+
)=
=
+
=P(
,
где P(
– вероябтность события
;
- вероятн соб
.
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Теорема: Два соб наз совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же опыте. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Док-во
Событие
А+В наступит, если наступат одно из трех
несовместных событий А
,
В,
АВ. По теореме сложения вероятностей
несовм соб имеем Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (1)
Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовм соб: А , АВ. Вновь применяя теоремы сложения вероятн несовм соб, получим Р(А)=Р(А )+Р(АВ) (2)
Откуда Р(А )=Р(А)-Р(АВ) (3) Р(В)=Р( В)+Р(АВ) (4) Ан-но для второго события. Откуда: Р( В)=Р(В)-Р(АВ) (5)
Подставив 3 и 4 в 5, получим: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Теорема умножения вероятностей для двух произвольных событий
Теорема:
Вероятность
произведения двух соб равна произведению
вероятности одного из них на условную
вероятность другого, вычисленную при
условии, что первое имело место.
Р(АВ)=Р(А)Р(
)=Р(В)Р(
)
Док-во
Предположим,
что из n
всевозможных элементарн исходов событию
А благоприятствуют m
исходов, из которых k
исходов благоприятствуют соб В. Тогда
вероятность соб А будет Р(А)=
,
условная вероятность соб В относительно
соб А будет Р(
)=
.
Произведению событий А и В благоприятствуют
только те исходы, которые благоприятствуют
и соб А и событию В одновременно, то есть
k
исходов. Поэтому вероятность произведения
соб А и В равна: Р(АВ)=
.
Умножим
числитель и знаменатель дроби на m.
Получим: Р(АВ)=
=Р(А)Р(
)
Ан-но док и формула: Р(АВ)=Р(В)Р( )
Теорема умножения вероятностей двух независимых событий
Теорема: Теорема произведения конечного числа событий равна произведению их условий вероятностей относительно произведения предшествующих событий.
Так
как события независимые, то верно
равенство:
(В)=Р(В)
=> Р(АВ)=Р(А)Р(В)
Формула полной вероятности
Предположим, что событие В может осуществляться только с одним из несовместных событий .
P(B)=
Формула Байеса
Пусть
событие В происходит одновременно с
одним из n
несовместных событий
.
Требуется
найти вероятность события
,
если известно, что событие В произошло.
На основании теоремы о вероятности
произведения двух событий можно написать:
P(
B)=
=>
