Множество – объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов.

Если каждый эл-нт множ В является эл-том множ А, то множ В наз подмножеством множ А (В с А).

Множ, равномощное отрезку натур ряда, а также пустое множ, называется конечным. Множ, не являющееся конечным, наз бесконечным.

Пустое множ – это множ, не содержащее ни одного эл-та

Мощность множ – это понятие множ, распространяющее на произвольные множ понятие «число эл-тов», которое имеет смысл для всех множ, включая бесконченые.

Числовые множ – это множ, эл-нт некоторого числа.

Операции над множ и их св-ва:

Объединением множ А и В наз множ С, эл-ты которого принадлежат хотябы одному из множ А и В (С=АUВ).

Пересечением множ А и В наз множ С, эл-ты которого принадлежат каждому из множ А и В.

Дополнение множ: Если предположим, что множ А явл подмнож некоторого универсального множ U, тогда опред операция дополнения:

Декартово произведение – множ всех упорядоченных пар (a;b), таких что а А, в В. В частности, если А=В, то обе корд принадлежат множ А, такое произведение обознач .

Бинарное отношение – подмнож декартова произведения двух множ, бинарным отношением на множ наз непустое множ упорядоченных пар эл-тов этого множ.

Действия с бин отн:

1. Рефлексивность 2. Антирефлексивность 3. Симметричность 4. Асимметричность 5. Транзитивность

Алгебраические системы

Алгебраическая система – множ G с заданным на нем набором операций и отношений, удовл некоторой сис-ме аксиом.

Группа – непустое множ с опред на нем бин операцией удовл аксиомам.

Подгруппа – подмнож H группы G, само явл группой отношений операции, опред G.

Абелева группа – группа, в которой групповая операция явл коммутативной (изменяющейся).

Вектор – направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало и конец.

Векторное пространство – матем понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трехмерного пространства.

Линейная комбинация векторов – вектор, представленный в виде x= , где коэф – произвольные числа; – рассматриваемые векторы (i = 1, … , n).

Базисом ненулевого векторного пространства V над полем F наз сис-ма векторов, которая порождает V или линейно зависима.

Размерностью ненулевого вект простр V=/0 наз мощность его базиса. Для нулекого вект простр V=0 полагают, что его размерность равна нулю ( ).

Элементы линейной алгебры

Матрица – прямоугольная таблица каких-либо эл-тов (чисел, мат выражений), состоящая из m-строк и n-столбцов.

Если m=n, то матрица наз квадратной. Матрица состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица mn, все эл-ты которой равны нулю, наз нулевой матрицей и обозн через 0. Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, наз соотв вектор-строкой или вектор-столбцом.

Умножение матриц. Умножением матрицы А размеров m*n на матрицу В размеров n*k называется матрица С размером m*k, эл-ты которой вычисл по формуле: , где i=1,…,m; j=1,…,k. Умножение матриц – некоммутативная операция => сущ такие матрицы А и В, что АВ=/ВА

Свойства опер умнож матриц:

Ассоциативность умножения: АВ(С)=А(ВС); (АВ)=( А)В=А( В), где

Дистрибутивность умножения: А(В+С)=АВ+АС; (А+В)С=АС+ВС

ЕА=А, АЕ=А, где Е – единичная матрица соответствующего порядка

Минором эл-та матрицы n-ого порядка наз определитель матрицы -ого порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением эл-та матрицы n-ого порядка наз его минор, взятый со знаком, зависящий от номера сроки и номера столбца.

Определителем наз число равное разности произведений эл-тов, стоящих на главной диагонали и эл-тов, стоящих на побочной диагонали.

Свойства определителей:

Полилинейность – означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам).

При добавлении линейной комб опред не изменится.

Если две строки/столбца матрицы совпадают, то ее определитель равен нулю

Если 2 или более строки/столбца матрицы линейно зависимы, то ее определитель равен 0.

Матрица наз вырожденной, если ее определитель равен нулю и невырожденной, если определитель матрицы отличен от нуля.

Формула вычисления обратной матрицы:

, где – алгебраическое дополнение эл-тов

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

Пусть А – исходная матрица, обратную к которой мы хотим найти.

n и k – кол-во строк и столбцов в ней соответственно

Сначала проверим явл ли А квадратной, т. Е. совпадают ли nи k. Затем проверим равен ли определитель матрицы А нулю. Если он равен нулю, то обратной матрицы не существует. Создаем матрицу Inv равную единичной размерности n*n. При помощи элементарных преобразований: сложения строк матрицы, умножения строки на число, перестановки столбцов и строк приводим матрицу А к единичной. Причем, параллельно, те же преобразования производим и с матрицей Inv = > будет явл обратной матрицей к исходной А.

Метод Гаусса

Метод Крамера