Алгебра высказываний

Высказывание – это утверждение, которому всегда можно поставить в соответствие одно из двух лог знач: «ложь» или «истина».

Операции над высказываниями:

Отрицание – лог выск, принимает знач «истинно», если исходное высказывание ложно и наоборот. Если на входе «0», то на выходе «1» и наоборот.

Конъюнкция – лог выск, истинное только тогда, когда они одновременно истинны (лог «и»). Если у обеих опер будет знач «1», то на выходе будет «1». В остальных случаях «0».

Дизъюнкция – лог выск, истинное только тогда, когда хотя бы одно из них истинно (лог «или»). Если у обеих опер будет знач «0», то на выходе будет «0». В остальных случаях «1».

Импликация – лог выск, ложное только тогда, когда В ложная, а А истинно. А->В и В=0 => А->В = «0». В остальных случаях «1».

Эквивалентность – лог выск, истинное только тогда, когда они одновременно истинны или одновременно ложны. Если А=0 и В=0 или А=1 и В=1, то А В будет иметь знач «1», в остальных случаях «0».

Составное высказывание – выск, которое образовано из простых выск путем объединения с помощью лог операций.

Классификация формул алгебры высказывания:

Формула алгебры выск F( ) наз выполнимой, если некоторая ее конкретизация явл истинным высказыванием.

Формула алгебры выск F( ) наз опровержимой, если некоторая ее конкретизация явл ложным высказыванием.

Формула алгебры выск F( ) наз тавтологией, или тождественно истинной, если все возможные ее конкретизации явл истинными.

Формула алгебры выск F( ) наз противоречием, или тождественно ложной, если все возможные ее конкретизации явл ложными.

Основные тавтологии:

Закон тождества: P Р

Закон контрапозиции: (P Q) (неQ неР)

Закон исключенного третьего: PVнеP

Логическая равносильность формул – ф-лы наз равносильными, если получ ф-ла тождественно истинна.

Логическое следование – одно из фундаментальных отношений между высказываниями, используемое для проверки правильности рассуждений.

Основные понятия теории вероятностей

Случайное событие – подмножество множ исходов случайного эксперимента.

Вероятность – Численная мера степени объективности наступления какого-либо события.

Относительная частота – отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

Совместное событие – любое событие, которое представляет собой одновременное возникновение любых двух (или более) событий.

Несовместные события – несколько событий наз несовм соб, если никакие два из них не могут появиться одновременно в результате однократного испытания случ эксперимента.

Полная группа событий – совокупность событий образует п.г.с. для данного испытания, если его результатом обязательно становится, хотя бы одно из них.

Свойства вероятности:

Вероятность достоверного события равна единице.

Вероятность невозможного события равна нулю.

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное в промежутке между нулем и единицей.

Основные правила комбинаторики:

Правило суммы: Если некоторый объект А можно выбрать n-способами, а другой объект В можно выбрать m-способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить n+m-способами.

Правило произведения: Если некоторый объект А можно выбрать n-способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать m-способами, то пары объектов А и В можно выбрать n*m-способами.

Сочетанием эл-тов из Е= по k наз упорядоченное подмнож из k эл-тов, принадлежащих Е и отличающиеся друг от друга составом, но не порядком эл-тов.

Пересечением наз размещения без повторений из n эл-тов, в кот входят все эл-ты.

Размещение из n эл-тов из Е= по k – всякая конечная последовательность, состоящая из k-членов данного множ Е.