2.Геометрические векторы:

а)-свойства

1. + + = + ( + ) - Ассоциативность сложения

2. =

3. (n=0,1,2,3) = =0

1-4 это абилева группа или коммутативная

4. + = + - Коммутативность сложения

5. - Дистрибутивность умножения на число относительно сложения векторов

6. - Дистрибутивность умножения на число относительно сложения чисел

7. - Ассоциативность умножения на число

8. 

1-8 имеют место для любых , ,

б)-линейные комбинации

Линейная комбинация – вектор равен сумме произведений

Вектор b = ∑^m_i=1λ_ia_i = λ₁a₁ + … + λ_ma_m назыв. линейной комбинацией векторов системы A_m, а числа λ₁, …, λ_m назыв. коэффиц. данной линейной комбинации.

Линейные комбинации называется тривиальной, если все ее коэффициенты = 0

1 = 2 = ... + m = 0

в)-зависимость(независимость)

Системы векторов Ам называется линейно зависимой, если сущ-ет нетривиальная линейная комбинация ее векторов = 0. В противном случае система Ам называется линейно-независимой.

Система Ам называется линейно независимой, если равенство 0 ее линейной комбинации возможно, только в тривиальном варианте.

, b = - , (- ) = 0 (комбинация не тривиальна, но она равна 0)

Система Аm линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы линейно выражается через остальные векторы этой же системы.

Система Am линейно независима тогда и только тогда, когда всякий вектор линейно выражающийся через нее единственен.

г)-критерии линейной независимости(док-во)

1) необходимость лин. зав. Пусть A_m – лин-зав, т. е.  лин. нетрив. комб. ∑^m_i=1λ_ia_i=Ō λ_ioa_io + ∑^m_i=1(i≠io)λ_ia_i=Ō=>a_io=∑^m_i=1(i≠io)μ_ia_i μ_i=–λ_i/λ_io 2) достаточность. Пусть вектор a_ioA_m ∑^m_i=1λ_ia_i–1*a_io= Ō Критерий лин. незав.: система векторов A_m лин-незав.  який вектор, линейно через нее выражающийся выражается через нее единственным способом. Док-во: 1) необходимость. Пусть A_m лин-незав. a=∑^m_i=1λ_ia_i Пусть a=∑^m_i=1μ_ia_i a=∑^m_i=1(λ_i – μ_i)a_i (λ_i – μ_i = γ_i) ∑^m_i=1 γ_ia_i = Ō => γ_i=0, т.е. λ_i = μ_i 2) достаточность. Пусть любой вектор, линейно-выражающийся через A_m, т.е. такой, что a=∑^m_i=1λ_ia_i единств. образом. Ō=∑^m_i=1η_ia_i при η_i = 0 ∑^m_i=1λ_ia_i=Ō => λ_i = μ_i =0

д)-базисы

Система векторов A_mV называется полной, если всякий aV линейно выражается через векторы этой системы a=∑^m_i=1λ_ia_i.

Упорядоченная система векторов A_n=(a₁, …,a_n) называется базисом векторного пространства V, если A_n – лин. незав. и полная.

1) Тривиальное пространство, сост. из Ō не имеет базиса.

2) Базис векторов на прямой – это любая система, сост. из одного ненулевого вектора.

3) Любая пара неколлинеарных векторов на плоскости образует базис.

4) Любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.

Теорема. Если сущ. конечный базис A_n, n≠0 в векторном пространстве V, то любые два базиса состоят из одного и того же числа векторов.

е)-размерности

Размерностью векторного пространства называется число векторов его базиса. (это опр. и теория формируются при условии. что выполняется аксиома размерности).