- •3. Определение определителя 3-го порядка как обобщение записи определителя 2-го порядка и геометрической схемы (правила) формирования членов определителя, то есть его вычисления.
- •8,9. Миноры и алгебраические дополнения
- •18.Ранг матрицы: определение и способы его вычисления.
- •19.Определение системы линейных уравнений. Классификация систем линейных уравнений
- •20.Матричная форма записи систем линейных уравнений
- •21.Схема применения правила Крамера при решении системы линейных уравнений
- •22.Схема решения системы линейных уравнений методом Гауса
- •23.Теорема Кронекера-Капелли: с доказательством и иллюстрацией применения.
- •24.Схема исследования и решения системы линейных уравнений в общем случае.
- •31. Сложение и умножение линейных преобразований.
- •33. Вычисление собственных векторов и значений методом прямых итераций
24.Схема исследования и решения системы линейных уравнений в общем случае.
Пусть заданная система m линейных уравнений с n неизвестными общего вида
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,
…………………………………….
Am1x1+am2x2+…+amnxn=bm, (2)
или, в матричной форме,
AX=B, (3)
Если В=0, то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.
Решением системы(2) называется всякий n-компонентный вектор-столбец Х, обращающий матричное уравнение (3) в равенство (соответствующий решению Х арифметический вектор х принадлежит R n также будем считать решением системы (2) )
Система называется совместной, если у нее существует, по крайней мере, одно решение, в противно случае она называется несовместной.
Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.
25. Однородные системы линейных уравнений
Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.
Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:
Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:
а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.
В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r; - базис этого подпространства.
26. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений равно сумме общего решения приведенной однородной системы и любого частного решения неоднородной системы.
Поскольку общее решение линейной системы, записанной в каноническом виде, определяется формулами:
то общее решение неоднородной системы можно записать в векторной форме в виде:
Здесь С1, С2, ..., Сn−r−1, Сn−r — произвольные константы, r — ранг матрицы системы.
Любая однородная система линейных алгебраических уравнений, ранг матрицы которой равен r, с помощью элементарных преобразований может быть приведена к каноническому виду:
Общее решение однородной линейной системы, записанной в каноническом виде, очевидно, определяется формулами:
Свободные переменные xr+1 , xr+2 , ..., xm−1, xm могут принимать произвольные значения.
Вычисленные по этим формулам n − r линейно независимых решений образуют фундаментальную систему решений:
Тогда общее решение системы можно записать в вектороной форме в виде:
Здесь С1, С2, ..., Сn−r−1, Сn−r — произвольные константы.
27. Определение линейного пространства Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать ...), в котором установлены правила:
1) любым двум элементам соответствует третий элемент называемый суммой элементов (внутренняя операция);
2) каждому и каждому отвечает определенный элемент (внешняя операция).
Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:
I.
II.
III. (нулевой элемент, такой, что ).
IV. (элемент, противоположный элементу ), такой, что
V.
VI.
VII.
VIII. Аналогично определяется комплексное линейное пространство (вместо R рассматривается C).
Линейная зависимость и независимость векторов
Система линейно зависима,
что
Критерий линейной зависимости векторов
Для того чтобы векторы (r > 1) были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.
28. Определение. Линейное пространство называется -мерным, если в нем существует линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства — это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число называется размерностью пространства и обозначается .
Определение. Совокупность линейно независимых векторов -мерного пространства называется базисом.
Справедлива следующая теорема.
Базисом векторного пространства называется любая независимая система линейно независимых –векторов этого пространства, количество которых равно , т.е. выбор системы базисных векторов векторного пространства неоднозначен, и может быть осуществлен большим числом способов.
29. Теорема. Каждый вектор линейного пространства можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса :
Это равенство называется разложением вектора по базису , а числа — координатами вектора относительно этого базиса. В силу единственности разложения каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе.
Очевидно, что нулевой вектор имеет все нулевые координаты, а вектор, противоположный данному, – противоположные по знаку координаты.
Теорема. Если – система линейно независимых векторов пространства и любой вектор линейно выражается через , то пространство является -мерным пространством , а векторы – его базисом.
Нередко приходится встречаться с заменой переменных, при которой старые переменные линейно выражаются через новые, например, при переходе от одного базиса пространства к другому. Такую замену переменных называют обычно их линейным преобразованием.
30. Линейным преобразованием переменных называется выражение системы переменных через новую систему переменных с помощью линейных однородных функций:
Линейное преобразование вполне определяется таблицей размером , составленной из коэффициентов при . Такая таблица, составленная из элементов называется матрицей , а само преобразование представляет собой пример матричной операции.