- •1.Определение системы координат на прямой линии, и прямоугольных систем координат на плоскости и в пространстве.
- •2. Определение полярных координат на плоскости - . Связь полярных координат с координатами в прямоугольной системе координат.
- •4. Геометрический смысл и физический смысл линейных операций с векторами: сумма векторов , и умножение вектора на вещественное число .
- •Разностью a – b вектора a и вектор b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор a. (стр. 48 Аналитической Геометрии)
- •6. Операции над векторами
- •7.Определение линейной зависимости совокупности векторов , ,…, : привести два определения и показать их равносильность.
- •8.Определение базиса для векторов,расположенных на плоскости и в пространстве.Что значит базис ортогональный?
- •9.Определение,физический смысл и основные свойства скалярного произведения векторов а и b.Вычисление скалярного произведения.
- •10.Заданы векторы а и b.Как вычислить проекцию вектора а на направление определяемое вектором b?
- •11.Заданы векторы а и b.Как вычислить угол между a и b?
- •12.Определение,физический смысл и основные свойства векторного произведения векторов:a и b
- •13.Определение и основные свойства векторов a b c.Геометрический смысл смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения векторов.
- •16. Вывод уравнения прямой на плоскости «в отрезках».
- •18.Нормирование общего уравнения прямой линии : . Получение выражения для вычисления отклонения произвольной точки от заданной прямой линии .
- •19. Вычисление расстояния от точки до прямой линии : .
- •20. Вычисление угла между двумя прямыми : и : .
- •22. Вывод уравнения плоскости, определяемой тремя точками: , , , не принадлежащими одной прямой.
- •23. Уравнение плоскости в отрезках.
- •24. Общее уравнение (полное) плоскости
- •25. Расстояние от точки , до плоскости, заданной уравнением , вычисляется по формуле:
- •26. Угол между плоскостями
- •27. Параметрическое уравнение прямой
- •Каноническое уравнение прямой
- •28. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
- •30. Угол между прямой и плоскостью.
- •Вопрос 31.
- •Вопрос 32.
- •Вопрос 33.
27. Параметрическое уравнение прямой
Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е. принадлежащий или параллельный ей.
Пусть на координатной плоскости заданы:
а) точка ;
б) ненулевой вектор (рис.3.13).
Требуется составить уравнение прямой, коллинеарной вектору и проходящей через точку .
Выберем на прямой произвольную точку . Обозначим и — радиус-векторы точек и (рис.3.14).
Точка принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Запишем условие коллинеарности: , где — некоторое действительное число (параметр). Учитывая, что , получим векторное параметрическое уравнение прямой:
где — направляющий вектор прямой, а — радиус-вектор точки, принадлежащей прямой.
Координатная форма записи уравнения (3.11) называется параметрическим уравнением прямой
где — координаты направляющего вектора прямой. Параметр в уравнениях (3.11),(3.12) имеет следующий геометрический смысл: величина пропорциональна расстоянию от начальной точки до точки . Физический смысл параметра в параметрических уравнениях (3.11), (3.12) — это время при равномерном и прямолинейном движении точки по прямой. При точка совпадает с начальной точкой , при возрастании движение происходит в направлении, определяемым направляющим вектором .
Каноническое уравнение прямой
Выразим параметр из каждого уравнения системы (3.12): , а затем исключим этот параметр:
Уравнение (3.13) называется каноническим уравнением прямой. В этом уравнении коэффициенты и не равны нулю одновременно, так как это координаты направляющего вектора прямой.
28. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению прямой:
.
Кроме того, для точки М1 можно записать:
.
Решая совместно эти уравнения, получим:
.
Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.
29. Пусть прямые и заданы каноническими уравнениями и Очевидно, угол между прямыми равен углу между направляющими векторами этих прямых: Тогда
|
|
Если то
Если , то или .
30. Угол между прямой и плоскостью.
Угол между прямой : и плоскостью : находиться в пределах от 0 градусов (в случае параллельности) до 90 (в случае перпендикулярности) . Синус этого угла равен |cos¥|, где ¥ - угол между направляющим вектором прямой s и нормальным вектором прямой n плоскости. Вычисляя косинус угла между векторами через координаты получим
, отсюда <ⱷ=arcsin
Вопрос 31.
Заданы прямая : и плоскость : . Найти их точку пересечения.
Запишем параметрический вид уравнения прямой
Подставим значения в уравнение плоскости
A1( )+B1( )+C1( )+D1=0
A1x1+A1*t*a1x+B1y1+B1*t*a1y+C1z1+C1*a1z+D1=0
A1x1+B1y1+C1z1+D1=-A1*t*a1x-B1*t*a1y-C1*a1z
Это и есть t. Потом значение t подставляем в параметрические уравнения и получаем точку пересечения.