4. Геометрический смысл и физический смысл линейных операций с векторами: сумма векторов , и умножение вектора на вещественное число .

а)Суммой двух векторов называется вектор, имеющий начало в начале вектора , а конец – в конце вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .

В соответствии с определением слагаемые и их сумма образуют треугольник (рис.ниже). Поэтому данное правило сложения двух векторов называют «правилом треугольника».

О перация сложения векторов обладает свойствами:

1. (коммутативность);

2. , (ассоциативность);

3. для любого вектора (особая роль нулевого вектора);

4. Для каждого вектора существует противоположный ему вектор такой, что (для получения достаточно поменять местами начало и конец вектора ).

Вектор противоположный вектору обозначают

б) Произведением вектора на вещественное число λ (скаляр) называется вектор , такой, что 1) ; 2) вектор коллинеарен вектору ; 3) векторы и имеют одинаковое (противоположное) направление если λ > 0 (λ < 0).

№5. Разности векторов a-b=c.

Разностью a – b вектора a и вектор b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор a. (стр. 48 Аналитической Геометрии)

6. Операции над векторами

Пусть в линейном пространстве выбран базис и в нём представлены вектора вектора , , тогда суммой векторов будет называется следующий вектор: . Пусть есть число λ, тогда произведением вектора на число λ будет называться следующий вектор: Два ненулевых вектора и называются коллинеарными, если .

7.Определение линейной зависимости совокупности векторов , ,…, : привести два определения и показать их равносильность.

Пусть задана система векторов а₁, а₂, а₃,…,а_n (1) одной размерности.

Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство a₁ а₁+a₂ а₂+…+ a_n а_n =0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа a₁, a₂,…, a_n=0 и Î R

Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном a _{i ¹} 0 (i=1,…,k)

Свойства

Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима

Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.

Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой.

Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой.

8.Определение базиса для векторов,расположенных на плоскости и в пространстве.Что значит базис ортогональный?

Определение: Базисом в пространстве называется любая

упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Определение: Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

Базис называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны.

Ортогональный базис называется ортонормированным, если его векторы по длине равны единице. Ортогональными называются такие вектора, скалярное произведение которых равно нулю. Для любого вектора все вектора, лежащие в любой перпендикулярной ему плоскости, будут ортогональны.