1. Кинематика материальной точки
Кинематика – это раздел механики, где изучаются способы описания движения независимо от причин, обуславливающих это движение. Существуют три способа описания движения материальной точки: векторный, координатный и ”естественный”.
Векторный способ
В этом способе
положение материальной точки задается
радиус-вектором
,
проведенным из некоторого неподвижного
начала отсчета в ту точку пространства,
где расположена интересующая нас
материальная точка. Зная зависимость
радиус-вектора от времени, можно найти
мгновенную скорость точки
,
и ее ускорение
.
Кроме того, можно
вычислить среднюю
и среднюю путевую
скорости
,
,
где
– вектор перемещения материальной
точки за время
,
и
– радиус-векторы, точки в начальный и
конечный моменты времени,
–
путь, пройденный точкой время
.
Надо отметить, что в различных учебниках используется различная терминология для определения средней и средней путевой скоростей. Например, в учебнике И.Е. Иродова средняя скорость называется средним вектором скорости, а средняя путевая скорость – средним значением модуля скорости.
Путь, пройденный телом, можно рассчитать, воспользовавшись выражением
,
(1)
где
– модуль
скорости точки.
Координатный способ
В этом способе с
точкой, выбранной за начало отсчета,
связывается, например, прямоугольная
система координат. Положение материальной
точки в пространстве определяется
заданием трех чисел
и
,
называемых координатами материальной
точки. Если известны зависимости
координат от времени, можно определить
проекции скорости и ускорения материальной
точки на выбранные оси. Например, проекции
скорости и ускорения на ось ОХ
вычисляются по формулам:
,
.
Аналогичные
соотношения получаются для
и
проекций
соответствующих векторов. Зная проекции
скорости и ускорения на координатные
оси, можно определить модули этих величин
,
.
При таком способе описания можно решить и ряд других вопросов: найти траекторию движения, зависимость скорости от положения материальной точки и пр.
“Естественный” способ
Этот способ
применяется тогда, когда известна
траектория движения материальной точки.
Положение точки
определяется дуговой
координатой
– расстоянием вдоль траектории от
выбранного начала отсчета
(см. рис. 1.).
Если известна зависимость дуговой координаты от времени, величина скорости точки определяется по формуле:
.
П
олное
ускорение
является суммой двух ускорений –
тангенциального (или касательного)
и нормального (или центростремительного)
.
Эти ускорения перпендикулярны друг другу, поэтому модуль полного ускорения равен:
.
Тангенциальное и нормальное ускорения рассчитываются по формулам:
,
,
где
– радиус кривизны траектории в данной
точке.
При любом способе описания движения материальной точки возникает и обратная задача: найти зависимость скорости и положения точки в пространстве от времени, если известна зависимость ускорения от времени. Решить эту задачу можно, зная начальные условия, а именно скорость материальной точки и ее положение в пространстве в тот момент времени, который принимается за начало отсчета.