Вопросы для самоконтроля
1. Скорость материальной точки меняется со временем по закону Известно, что в начальный момент времени и Укажите ошибочные утверждения:
а) б) в)
г) д) е)
ж) з) и)
где и – координаты, и – проекции скорости на координатные оси, – величина скорости, – величина ускорения материальной точки.
2. Известна зависимость скорости материальной точки от времени Для нахождения радиус-вектора определяющего положение точки в пространстве, необходимо знать:
а) начальную скорость;
б) начальное положение, т.е. радиус-вектор в момент времени
в) начальную скорость и начальное положение;
г) только зависимость
Укажите правильные утверждения.
3. При движении вдоль криволинейной траектории полное ускорение материальной точки равно:
а) б) в)
г) д) е)
где и – нормальное тангенциальное ускорения точки.
Укажите правильные утверждения.
4. Материальная точка движется равномерно по окружности радиуса . Укажите ошибочные утверждения:
а) б) в) г)
где – скорость точки.
5. Материальная точка движется по окружности радиуса . Скорость точки меняется со временем по закону где – положительная постоянная. Полное ускорение точки равно:
а) б)
в) г)
Укажите правильные утверждения.
Примеры решения задач
Пример 1. Радиус-вектор частицы меняется со временем по закону , где –постоянный вектор, – положительная постоянная. Найти:
а) скорость и ускорение частицы в зависимости от времени;
б) промежуток времени , по истечении которого частица вернется в исходную точку, путь , который она пройдет при этом, среднюю и среднюю путевую скорости за время движения.
Р е ш е н и е. Найдем скорость и ускорение частицы:
, (2)
.
Из условия задачи следует, что в начальный момент времени радиус-вектор . Это означает, что для нахождения времени , по истечении которого частица вернется в исходную точку, радиус-вектор в этот момент времени надо приравнять нулю
.
Откуда следует, что
.
Для нахождения пути , пройденного частицей, воспользуемся формулой (1). Напомним, что под знаком интеграла стоит модуль скорости частицы. Из выражения (2) следует, что вектор скорости частицы совпадает по направлению с вектором до того момента времени , когда скорость частицы станет равна нулю. Это время, как следует из (1), равно
.
После этого, вектор скорости изменит свое направление на противоположное, т.е.
при <
и
при > .
Таким образом, путь, пройденный телом, будет равен:
.
После подстановки и , получаем
.
Надо отметить, что в данной задаче путь, пройденный частицей, можно вычислить иначе. Действительно, поскольку частица, двигаясь по прямой (вдоль вектора ) вернулась в исходную точку, путь будет равен
,
где – длина радиус-вектора в момент времени , т.е.
.
Вектор перемещения частицы за все время движения равен нулю (по условию задачи она вернулась в исходную точку), поэтому средняя скорость равна нулю. Средняя путевая скорость за все время движения равна
.
Пример 2. Точка движется в плоскости по закону , , где и – положительные постоянные. Найти:
а) уравнение траектории материальной точки ;
б) величины скорости и ускорения точки в зависимости от ;
в) момент времени , когда угол между скоростью и ускорением равен .
Р е ш е н и е. а) Для нахождения уравнения траектории исключим из уравнений, приведенных в условии задачи время :
,
.
б) Определим проекции скорости на оси ОХ и :
,
,
и рассчитаем модуль скорости
.
Аналогичным образом рассчитаем величину ускорения:
,
,
.
в) Для нахождения времени воспользуемся скалярными представлениями произведения вектора скорости и вектора ускорения:
.
С другой стороны
.
Таким образом:
.
После подстановки значения угла и преобразования этого выражения получаем
.
Пример 3. Частица движется по дуге окружности радиуса по закону , где – смещение из начального положения, отсчитываемого вдоль дуги, А и – постоянные. Найти полное ускорение частицы в точках: а) ; б) .
Р е ш е н и е. Определим зависимость величины скорости от времени:
.
По определению тангенциальное и нормальное ускорения соответственно равны:
,
.
Таким образом, при полное ускорение равно:
,
а при :
.
Пример 4. Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости по закону , где – положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна . Какой путь , она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?
Р е ш е н и е. Пусть точка движется в положительном направлении оси . За начало отсчета координаты примем точку старта. Поскольку движение замедленное, т.е. <0, модуль ускорения равен
.
По условию задачи
. (3)
Для того чтобы решить дифференциальное уравнение (3), надо разделить переменные
,
а затем проинтегрировать правую (в пределах от начальной скорости – нижний предел интегрирования, до скорости точки в произвольный момент времени – верхний предел интегрирования) и левую (в пределах от нуля до ) части этого уравнения. Таким образом,
.
Решая это уравнение, находим зависимость скорости точки от времени
.
Так как в момент остановки скорость тела равна нулю, получаем
.
Путь пройденный телом, можно найти, воспользовавшись уравнением
.
После подстановки в это уравнение , получаем
.
Этот способ нахождения пути не единственный. Вернемся к уравнению (3). Умножим и разделим левую часть этого уравнения на
,
т.к. , получаем
.
При интегрировании этого уравнения учтем, что в момент остановки и , тогда, решая уравнение
,
получим:
.
Видно, что второй способ нахождения пути проще, чем первый.
Пример 5. Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса так, что в каждый момент времени ее тангенциальное и нормальное ускорения по модулю равны друг другу. В начальный момент скорость точки равна . Найти зависимости:
а) скорости точки от времени и от пройденного пути ;
б) полного ускорения от скорости и пройденного пути.
Р е ш е н и е. а)По условию задачи . Учитывая, что движение замедленное, запишем
. (4)
Разделив переменные,
и решая полученное дифференциальное уравнение
,
найдем зависимость скорости от времени
.
Для нахождения зависимости скорости от пройденного пути, умножим и разделим левую часть уравнения (4) на приращение дуговой координаты
,
т.к. , получим дифференциальное уравнение
решая которое,
,
найдем зависимость скорости от пройденного пути
. (5)
б) Полное ускорение точки равно . Учитывая, что по условию задачи , найдем зависимость полного ускорения от скорости
.
Подставляя в это выражение (5), определим зависимость полного ускорения от пройденного пути
.
П ример 6. Частица движется в одну сторону по траектории, представленной на рис. 2 с тангенциальным ускорением , где – постоянный вектор, совпадающий по направлению с осью ОХ, а – единичный вектор, связанный с частицей и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты . Найти скорость частицы в зависимости от , если в точке ее скорость равна нулю.
Р е ш е н и е. По определению
,
то есть
,
где – угол между вектором и вектором ( см. рис. 3). Вектор – единичный вектор, поэтому . Умножим и разделим левую часть этого уравнения на приращение дуговой координаты
,
откуда получаем
.
Но , тогда
.
Интегрируя это уравнение,
,
найдем зависимость скорости частицы от координаты
.
Пример 7. Точка движется по плоскости так, что ее тангенциальное ускорение , а нормальное ускорение , где и – положительные постоянные, – время. В момент точка покоилась. Найти зависимости от дуговой координаты радиуса кривизны траектории точки и ее полного ускорения .
Р е ш е н и е. Найдем зависимости скорости и дуговой координаты точки от времени, учитывая, что в начальный момент точка покоилась. Будем считать, что в точке старта значение дуговой координаты равно нулю. Учитывая, что
, и ,
получим
и
. (6)
По условию задачи
,
откуда
.
Подставляя в это уравнение и значение , найденное из (6), определим зависимость радиуса кривизны траектории от дуговой координаты
.
Найдем полное ускорение
.
Подставляя , получим зависимость полного ускорения от дуговой координаты
.