- •1.Определение системы координат на прямой линии, и прямоугольных систем координат на плоскости и в пространстве.
- •2. Определение полярных координат на плоскости - . Связь полярных координат с координатами в прямоугольной системе координат.
- •4. Геометрический смысл и физический смысл линейных операций с векторами: сумма векторов , и умножение вектора на вещественное число .
- •Разностью a – b вектора a и вектор b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор a. (стр. 48 Аналитической Геометрии)
- •6. Операции над векторами
- •7.Определение линейной зависимости совокупности векторов , ,…, : привести два определения и показать их равносильность.
- •8.Определение базиса для векторов,расположенных на плоскости и в пространстве.Что значит базис ортогональный?
- •9.Определение,физический смысл и основные свойства скалярного произведения векторов а и b.Вычисление скалярного произведения.
- •10.Заданы векторы а и b.Как вычислить проекцию вектора а на направление определяемое вектором b?
- •11.Заданы векторы а и b.Как вычислить угол между a и b?
- •12.Определение,физический смысл и основные свойства векторного произведения векторов:a и b
- •13.Определение и основные свойства векторов a b c.Геометрический смысл смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения векторов.
- •16. Вывод уравнения прямой на плоскости «в отрезках».
- •18.Нормирование общего уравнения прямой линии : . Получение выражения для вычисления отклонения произвольной точки от заданной прямой линии .
- •19. Вычисление расстояния от точки до прямой линии : .
- •20. Вычисление угла между двумя прямыми : и : .
- •22. Вывод уравнения плоскости, определяемой тремя точками: , , , не принадлежащими одной прямой.
- •23. Уравнение плоскости в отрезках.
- •24. Общее уравнение (полное) плоскости
- •25. Расстояние от точки , до плоскости, заданной уравнением , вычисляется по формуле:
- •26. Угол между плоскостями
- •27. Параметрическое уравнение прямой
- •Каноническое уравнение прямой
- •28. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.
- •30. Угол между прямой и плоскостью.
- •Вопрос 31.
- •Вопрос 32.
- •Вопрос 33.
13.Определение и основные свойства векторов a b c.Геометрический смысл смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения векторов.
Определение. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго вектора на третий и обозначается
.
Смешанное произведение векторов , и обозначается или .
Теорема: Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах, взятому со знаком плюс
если тройка правая, и со знаком минус, если тройка левая. Действительно, , где φ -угол между векторами и , а θ - угол между векторами и . Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , равен произведению площади основания на высоту . Таким образом,
первое утверждение доказано. Знак смешанного произведения совпадает со знаком cosθ, и поэтому смешанное произведение положительно когда
направлен в ту же сторону от плоскости векторов
и , что и вектор , т. е. когда тройка ,
, правая. Аналогично доказывается, что смешанное произведение левой тройки векторов отрицательно.
Смешанное произведение обладает следующими свойствами:
1. ;
2. ;
3. .
14.Вывод общего уравнения прямой на плоскости, если задана точка , принадлежащая этой прямой, и вектор нормали = , перпендикулярный этой прямой.
Выберем на плоскости произвольную точку . Обозначим и — радиус-векторы точек и . Точка принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны (рис.3.5,б). Условие ортогональности запишем при помощи скалярного произведения (см. разд. 1.6.2):
Учитывая, что , получаем векторное уравнение прямой:
Это уравнение можно записать в другой форме. Преобразуем левую часть , используя свойства скалярного произведения (см. ). Обозначая , получаем уравнение
или
выражающее постоянство проекций на нормаль радиус-векторов точек, принадлежащих прямой.
Получим координатную форму записи векторного уравнения прямой (3.5). Так как и , по формуле (1.9) находим или
Полученное соотношение (3.7) позволяет по координатам точки и координатам нормали записать уравнение прямой без промежуточных вычислений.
Обозначив , получим уравнение
15.Вывод параметрических и канонического уравнений прямой на плоскости, если задана точка , принадлежащая этой прямой, и направляющий вектор = , параллельный этой прямой.
Пусть прямая l задана точкой и направляющим вектором (см. рис. 11.5.2). Пусть M – произвольная точка прямой.
|
|
Обозначим и радиус-векторы точек и M соответственно. Вектор параллелен прямой, и, следовательно, вектору тогда и только тогда, когда M лежит на прямой. Так как то
|
Переменная t, принимающая различные значения, называется параметром, а уравнение – векторно-параметрическим уравнением прямой.
Если ввести систему координат то уравнение можно записать в виде
|
где и – координаты точек и M, а – координаты вектора Отсюда следует, что
|
Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.
Пусть и тогда из уравнений следует, что и, окончательно, уравнение которое называется каноническим уравнением прямой, с направляющим вектором