16. Вывод уравнения прямой на плоскости «в отрезках».

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С  0, то, разделив на –С, получим то что нужно: или, где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

            Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

            С = 1, ,       а = -1,   b = 1.

17. Вывод уравнения прямой линии, проходящей через точки и . Результат записать либо в канонической форме, либо в виде общего уравнения. (M1=A, M2=B)

Пусть даны точки A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂). Уравнение прямой, проходящей через точки A(x₁;y₁) и B(x₂;y₂) имеет вид:

 (8)

Если данные точки A и B лежат на прямой, параллельной оси O_x (у₂-у₁=0) или оси O_у (х₂-х₁=0), то уравнение прямой будет соответственно иметь вид у=у₁ или х=х₁

Пример 4. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точки A(1;2) и B(-1;1).

Решение: Подставляя в уравнение (8) x₁=1, y₁=2, x₂=-1; y₂=1 получим:   откуда   или 2у-4=х-1, или окончательно х-2у+3=0

18.Нормирование общего уравнения прямой линии : . Получение выражения для вычисления отклонения произвольной точки от заданной прямой линии .

Общее уравнение прямой

Ах + Ву + С = 0

всегда можно привести к нормированному виду (нормировать). Если С < 0, то, умножив обе части уравнения на нормирующий множитель  , получим уравнение

которое   является   нормированным,   так  как  вектор   как легко проверить- единичный, а свободный член уравнения меньше или равен нулю.

Случай С > 0 сводится к предыдущему умножением обеих частей уравнения на —1. Поэтому, если С > 0, то за   нормирующий   множитель   следует   взять   число 

Задача. Вычислить расстояние от начала координат до прямой 6х — 8y + 25 = 0.

Тaк как С = 25 > 0, то, умножив обе части уравнения    на    нормирующий    множитель

 

, получим нормированное уравнение данной прямой

— 0,6х + 0,8y — 2,5 = 0.

Учитывая геометрический смысл свободного члена нормированного уравнения прямой, видим, что искомое расстояние равно 2,5.

ОТКЛОНЕНИЕ + точка

Пусть l — произвольная прямая (рис. 102).

Обозначим через р расстояние от начала координат до прямой l, а через φ — угол между осью Ох и нормальным вектором прямой l. Угол будем отсчитывать от оси Ох в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Очевидно, что положение прямой на плоскости полностью определяется заданием величин р и φ. Выразим коэффициенты уравнения прямой l через р и φ.

Пусть М₀ — точка пересечения прямой l и перпендикулярной ей прямой, проходящей через начало координат, п₀ — единичный нормальный вектор прямой l, т. е. |п₀| = 1. Координаты точки М₀ и вектора п₀ выражаются через заданные величины р и φ следующим образом:

М₀(р cos φ; р sinφ),    п₀ = (cos φ;   sinφ).

19. Вычисление расстояния от точки до прямой линии : .

Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число , причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.

Пример. Найдем расстояние от точки А(7,-3) до прямой, заданной уравнением

3х + 4у + 15 = 0. А² + B²=9+16=25, C=15>0, поэтому нормирующий множитель равен

-1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид:  Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А, получим, что ее отклонение от прямой равно

 Следовательно, расстояние от точки А до данной прямой равно 4,8.